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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
son paralelas, dichos planos AMB y CND se cortarán (115). Por otra parte, 
como estos dos planos contie¬ 
nen respectivamente á los rayos 
paralelos MA y NC su inter¬ 
sección es paralela á estos ra- 
3 ’os, y por igual motivo, es 
también paralela á 1MB y ND. 
En la demostración hemos 
supuesto (aunque sin advertirlo) 
que los planos AMB y AMP 
son diferentes, ó de otro modo ; 
que el plano AMB no es normal 
al CND. Si lo fuera, la propo¬ 
sición es evidente. 
122. Si dos planos son 
paralelos, sobre cada uno de 
ellos existe un solo sistema de rectas paralelas al otro. Ó más brevemente: 
dos planos paralelos , tienen una sola dirección común. 
Demostración.— (Fig. 43). Suponemos que los planos a y 6 son paralelos, 
es decir (112) que no se cortan, que una recta MA del uno es paralela á una rec¬ 
ta NB del otro, y que MA y NB es el 
sentido del paralelismo. Afirmamos 
que, entre las rectas del plano a, 
la MA 3 T las paralelas al rayo MA 
son las únicas paralelas á 6. Que 
dichas rectas son paralelas á 6, re¬ 
sulta de que las paralelas al rayo 
MA, también lo son al rayo NB 
(109). Para establecer que dicho sis¬ 
tema de paralelas es único, hagamos 
ver que toda recta PC de a no para¬ 
lela al rayo MA, ni en coinciden¬ 
cia con MA, no puede ser paralela 
á una recta QD del plano 6. Si PC 
y QD fueran paralelas, trazando las rectas PE 3 T QF paralelas al ra}’o 
MA, estarían PE en el plano a y QF en el 6 (lili); las rectas PC 3 T PE serían 
diferentes (porque suponemos que PC no es paralela al ra) 7 o MA); también se¬ 
rían diferentes las rectas QD y QF, pues de lo contrario sería PC paralelo á QF, 
y por consiguiente á MA. Tendríamos, pues, dos ángulos no llanos CPE, DQF 
con sus lados respectivamente paralelos; luego (121) sus planos a y 6 se corta¬ 
rían; luego no serían paralelos, contra el supuesto. Hemos demostrado que entre 
todas las í'ectas del plano a, la MA y todas las paralelas al rayo MA son las úni- 
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