ÁNGULO DE PARALELISMO 
47 
III.—-Del ángulo de paralelismo. 
126. (Fig. 48). Sean MN la distancia del punto M á la recta CB, y MA el rayo 
paralelo á NB: el ángulo NMA, recto en la hipótesis euclideana, es agudo en la 
hipótesis contraria, que ahora admitimos, y se llama, según se dijo (104-11) ángulo 
de paralelismo , correspondiente á la distancia MN. 
Á iguales distancias , corresponden iguales ángulos de paralelismo; á 
mayor distancia, corresponde menor ángulo; y viceversa. 
Demostración. —Sean MN y FG las respectivas distancias de los puntos M 
y F á las rectas CB y DE; sean también MA un rayo paralelo á CB, y FH otro 
F 
Fig. 48 
rayo paralelo á DE. Con estos supuestos, vamos á demostrar las cuatro proposi¬ 
ciones que comprende el enunciado anterior. 
1. ° SiMN = FG, serán iguales los ángulos de paralelismo NMA, GFH. 
(Proposición ya demostrada en el párrafo 104-11). 
2. ° SiFG>MN, será GFH < NMA. Efectivamente: la distancia mayor 
FG se compone de una parte GI igual á la MN y de otra parte IF. Trácese por 
I el rayo IJ paralelo á GE, y resultará (109) IJ, paralelo á FH; pues bien, por ser 
IJ paralelo á FH, el ángulo F es (117-111) menor que el suplemento del JIF, es 
decir, menor que el G1J == M, (porque estos ángulos de paralelismo corresponden 
á las distancias iguales IG, MN), luego F<M. 
3. ° Si los ángulos del paralelismo M y F son iguales, también lo serán las 
distancias MN, FG; porque, de lo contrario, serían (2.°) desiguales los ángulos 
M y F, en contradicción con la hipótesis. 
4 ° Si F<M, será FG>MN; porque, si fuera FG = MN, se deduciría 
F = M, y si fuera FG < M, tendríamos F > M, resultados ambos incompatibles 
con el supuesto F < M; luego FG > MN. 
127. (Fig. 49). Todo ángulo agudo BMA {por pequeño que sea ) puede con¬ 
siderarse como ángulo de paralelismo de cierta distancia. 
Demostración. —Trácese el rayo MC simétrico de MA, respecto de la recta 
61 
\ 
