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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
Sean BG y CH las distancias de los puntos B y C á la recta DE. De la 
construcción y de la igualdad de los triángulos ADE, CFE, se sigue que son 
iguales los ángulos en D y F, señalados con un arco, y que CF = AD = BD; 
luego los triángulos rectángulos CFH, BDG son iguales; y por tanto, BG = CH, 
áng. FCH = áng. DBG. Infiérese de esto, que la suma de los ángulos en B y C 
es la misma para el cuadrilátero FCBD que para el HCBG. La cuestión queda, 
pues, reducida á demostrar que, en el cuadrilátero HCBG, la suma HCB-f-CBG 
es menor que 2 rectos. 
Obsérvese que las rectas BC, GH no son paralelas (117-III); porque, siendo 
CH = BG, y á más, rectos los ángulos en G y H, la normal á GH, en su punto 
medio, también sería normal á BC (21). Trazando los rayos BJ, CK paralelos al 
rayo DE, serán iguales los ángulos de paralelismo en B y C, porque BG = CH; 
luego HCB -j- CBG = KCB -j- CBJ. La cuestión queda, pues, reducida á demos¬ 
trar que esta última suma es menor que 2 rectos; pero esto es evidente, (117-III) 
porque los rayos BJ y CK son paralelos. La proposición queda demostrada. 
Corolarios. — En el triangulo, la suma de dos ángulos es menor que el 
externo adyacente al tercero. En el triángulo rectángulo , la suma de los dos 
ángulos agudos es menor que un recto. 
131. La suma de los ángulos de un polígono plano (cuya orilla no se cor' 
te á sí misma) es menor que tantas veces 2 rectos como vértices menos 2 tiene 
el polígono. (*) 
Es decir, que entre el número n de vértices y la suma 5 de sus ángulos, 
existe la relación 
S < 2 {n — 2) rectos ó 5 < 2 n — 4 rectos 
Demostración.— (Fig. 54). Descompongamos el polígono dado ABCDEFGH 
en un triángulo BCD y otro polígono ABDEFGH, que tendrá n —1 lados; des¬ 
compongamos éste, á su vez, en un triángulo 
ABD y otro polígono ADEFGH, que tendrá 
n — .2 lados; y continuando esta serie de des¬ 
composiciones, lograremos, por fin, descom¬ 
poner el polígono dado en n — 2 triángulos 
BDC, ABD,FED.... cuyos ángulos componen 
los del polígono dado. Los tres ángulos de cada 
triángulo suman menos de 2 rectos (130); y 
los de todos los n — 2 triángulos sumarán, por 
consiguiente, menos de 2 ( n — 2) rectos; luego 
mismo sucederá á la suma de todos los ángulos del polígono dado. 
(*) En adelante, todo lo que digamos de polígonos debe sobreentenderse limitado á los polígo¬ 
nos cuya orilla no se corte á si misma; es decir, al polígono unicelular. Sus ángulos pueden valer 
i8o° ó más, como sucede, por ejemplo con el ángulo EDC que es mayor que i8o°. 
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