DEFECTO ANGULAR DÉ UN POLÍGONO 59 
al menor a', y en otro polígono b ; el defecto del primero es mayor que el de a 
(133-III), y el de a es igual al de a'; luego etc. 
III Dos polígonos con iguales defectos, son equiválentes. 
Porque, si no lo fueran, sus defectos angulares serían desiguales (II), en con¬ 
tradicción con el supuesto. 
IV. De dos polígonos con defectos desiguales , el que tenga mayor defecto , 
tiene mayor superficie. 
Porque la negación de la tesis conduce, en virtud de los teoremas I y il, á 
una conclusión incompatible con la hipótesis. 
138. La razón de dos polígonos es igual á la razón de sus defectos. 
Demostración. —1.° Si los dos polígonos M y iVson comensurables, imagi¬ 
némoslos descompuestos en polígonos equivalentes á su medida común; y si ésta 
se halla contenida m veces en M, y n veces en N, tendremos 
M m 
N n 
Los m y n polígonos parciales tienen igual defecto angular, porque son equi¬ 
valentes (137-1); y si designamos por d este defecto, los de M y TV serán respec¬ 
tivamente md y nd (133-11); luego 
defecto de M _ m 
defecto de TV n 
De las dos igualdades establecidas, se deduce 
M defecto de M 
N defecto de N 
2 o Si los dos polígonos itíyTVson incomensurables, imaginemos descom¬ 
puesto el TV en n polígonos equivalentes. Sea a el área de uno de estos polígonos 
parciales, y d su defecto angular. El otro polígono M no será múltiplo de a; pero 
estará comprendido entre dos múltiplos consecutivos ma. y (m-\- 1) a. El defecto 
del polígono N es nd y el de M está comprendido entre md y (in +• I) d 
(133-11 y 137-II). Tendremos, pues, 
m M m -\-1 
— “- 
n N n 
m defecto de M m 4-1 
— -'— 
n defecto de N n 
_. ■ , m m-(-1 
Si n es un numero variable arbitrariamente grande, las razones — y- 
6 ^ n n 
tienden hacia un mismo límite, porque su diferencia -— tiende hacia cero; luego 
M defecto de M 
las razones —r y - -r——, por estar comprendidas entre dos cantidades 
N J defecto de ^ K 
variables que tienden hacia un mismo límite, son iguales. 
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