6o 
GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
Observaciones. — 1. a La extensión de un triángulo no puede ser arbitra¬ 
riamente grande. 
Porque la razón entre el triángulo variable M y un polígono constante N es 
igual á la razón de sus defectos, y ésta es una cantidad finita. 
2. a Los triángulos con 1, 2 ó 3 ángulos nulos (134), tienen extensión finita. 
Porque (figs. 57, 58 y 59) son los límites de triángulos variables 1Y1NX, 
AXY, XYZ cuya superficie, siempre creciente, tiende hacia un límite ( Obs. 1. a -). 
3. a Entre todos los triángulos, el de superficie máxima es el triángulo 
limite (134). 
Porque la suma de sus ángulos es mínima (vale cero), y por lo tanto, su 
defecto angular es máximo. 
4. a Si la superficie de un triángulo tiende hacia cero, la suma de sus 
ángulos tiende hacia dos rectos. Y viceversa. 
Porque, de la proporcionalidad entre los polígonos y sus defectos, se deduce 
que un polígono y su defecto angular se desvanecen simultáneamente. 
5. a De lo expuesto resulta que, cuando la superficie de un triángulo crece 
desde cero hasta el valor del triángulo limite , la suma de sus ángulos dismi¬ 
nuye desde 2 rectos hasta cero. 
6. a Si se miden los ángulos de un triángulo con un goniómetro de precisión 
(por ejemplo, con un buen teodolito) la suma de los valores obtenidos resulta 
aproximadamente igual á 180°. No prueba esto, de ningún modo, que la Geome¬ 
tría hiperbólica esté en contradicción con la experiencia; prueba tan sólo que, en 
todos los triángulos observados hasta hoy, el defecto angular (si no es nulo) es 
pequeñísimo, é inapreciable, por lo tanto, con los más delicados instrumentos. 
Para los triángulos que tienen por base un diámetro de la órbita terrestre, y por 
vértice una estrella cualquiera, el defecto angular es insensible; y como la super¬ 
ficie de un polígono es proporcional á su defecto, imagínese cuan insignificante 
será éste para los triángulos situados dentro de nuestro sistema solar, en la su¬ 
perficie de nuestro planeta ó en los reducidos límites de un dibujo. De la Geo¬ 
metría HIPERBÓLICA NO PUEDE, PUES, AFIRMARSE QUE SEA CONTRARIA Á LA 
realidad: los triángulos cuyo defecto angular sea sensible, deben ser inmensa¬ 
mente grandes. Y esto explica también la imposibilidad de representar correcta¬ 
mente, por una figura pequeña, el triángulo límite. 
139. Terminaremos este artículo, haciendo notar la gran analogía que exis¬ 
te entre las propiedades de los polígonos esféricos (de una misma esfera) y las de 
los polígonos planos. 
En el triángulo esférico, la suma de los ángulos es siempre mayor que 2 rec¬ 
tos; en el triángulo rectilíneo es siempre menor. 
En el polígono esférico, la suma de los ángulos externos es siempre menor 
que 4 rectos; y en el polígono plano es siempre mayor. Dos triángulos esféricos 
ó rectilíneos, que tengan sus ángulos respectivamente iguales, son iguales ó 
simétricos. 
74 
