62 GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
p' normal á m, y paralela al rayo MA' (129-1). Sean B y B' las intersecciones 
de la recta m con las p y p'. Por el punto C, medio de BB', trácese (en el plano 
de la figura) la recta CD normal á n, y esta recta CD será también normal á m. 
Para demostrarlo, trácense por C los dos rayos CE, CE' paralelos á la recta m, 
y se tendrá: ECD = DCE', porque son ángulos de paralelismo correspondientes 
á una misma distancia CD; BCE=E'CB', porque son ángulos de paralelismo 
correspondientes á las distancias iguales CB y CB'. Sumando ordenadamente las 
dos igualdades anteriores, resulta BCD = DCB'; luego CD es normal á m. Otra 
recta cualquiera AF, normal á m, no lo es á n, porque en el cuadrilátero CDFA, 
con tres ángulos rectos C, D y F, el ángulo en A debe ser agudo (131-Cor.). Te¬ 
nemos, pues, demostrado que existe una recta CD normal á m y n; y nada más 
que una. 
141. (Fig. 70). Si en el cuadrilátero convexo ABCD son rectos sus ángulos 
Aj'B, j) agudos los C y D, los lados AB y CD tendrán una normal común, 
que cortará á estos dos lados , no á sus prolongaciones. 
Demostración. — Si el rayo DC fuera paralelo á la recta AB, ó la cortara, 
el ángulo BCE, adyacente del agudo 
DCB, sería ángulo de paralelismo de la 
distancia CB, ó ángulo oblicuo de un 
triángulo rectángulo; y ambas cosas son 
imposibles, porque dicho ángulo BCE es 
obtuso. Luego el rayo DC no es paralelo 
á la recta AB, ni la corta; y como lo 
mismo puede afirmarse del rayo CD y la 
recta BA, resulta que las dos rectas AB 
y CD no se cortan, ni son paralelas; y (140-III) tienen, por consiguiente, una 
normal común. 
Sean E y F las intersecciones de esta normal con DC y AB. Las tres rectas 
AD, BC y FE, por ser normales á AB, no se cortan. Por consiguiente, si el punto 
E cayese en una prolongación del lado CD, por ejemplo, en la que sigue la di¬ 
rección DC, F caería en la prolongación opuesta del rayo BA; y en el cuadrilá¬ 
tero covexo BCEF, con sus tres ángulos rectos en B, F y E, el cuarto ángulo 
BCE debería ser agudo (131-Cor.), y como es obtuso, por adyacente del agudo 
DCB, resulta absurdo suponer que E caiga en una prolongación del lado CD; 
luego caerá sobre este lado. Tenemos, pues, que la normal común á las rectas 
AB y CD corta al lado CD, no á su prolongación; y por lo tanto, lo mismo ocu¬ 
rrirá respecto del lado AB. 
142. I. (Fig. 71). Si un plano a y una recta m cortan normalmente á 
una recta p, no son paralelos. 
Efectivamente, sean A y B las respectivas intersecciones de la recta p con 
m y a. Los ángulos que p forma con m son rectos; y no pueden, por consiguiente, 
ser ángulos de paralelismo de la distancia AB; luego m no es paralela á a. 
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