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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
al lado MC, y normal al MD, (129-1), se ve inmediatamente que la abcisa MD 
tiene por límite MH, cuando la distancia MC es arbitrariamente grande. 
147. (Fig. 77). En la faja de plano, comprendida entre dos rectas parod¬ 
íelas m y n , las ordenadas decrecen hacia el lado del paralelismo, y tienden 
hacia cero; pero crecen sin límite en Id dirección opuesta. Dos rectas paralelas 
son líneas asintóticas. 
Demostración. — Suponemos que el rayo AB, situado sobre la recta n, es 
paralelo á la recta m, y que AC y BD son las distancias de A y B á dicha recta 
m; y afirmamos: l.° Que AC>BD; y 2.° Que la longitud de la ordenada variable 
AC tiende hacia cero ó hacia el infinito, según que el punto A se aleje al infinito 
sobre el rayo AB ó sobre su prolangación opuesta. 
los ángulos en A y B suman 
menos de 2 rectos (131), y por 
consiguiente, CAB < DBE; 
pero estos ángulos son los de 
paralelismo, correspondientes 
á las distancias AC y BD; 
luego (126) AC>BD. 
2.° Trácese la recta p 
paralela al rayo BA, y nor¬ 
mal á la recta m (129-1); y 
únase con A la intersección 
H de p y m. Si el punto A se 
aleja al infinito en la direc¬ 
ción BA, el ángulo HAB 
tiende hacia cero (102- Obs. 2. a ); y lo mismo sucede, por consiguiente, al CAB 
que es parte del HAB. Y puesto que el ángulo de paralelismo CAB tiende hacia 
cero, la distancia correspondiente AC tiende hacia el infinito (128). 
Si el punto A marcha sobre el rayo AB, y se aleja á distancias arbitraria¬ 
mente grandes, el ángulo variable HAE tiende hacia 2 rectos (porque su adya¬ 
cente tiende hacia cero (102- Obs. 2 a ). El ángulo CAB, por crecer constantemente, 
y permanecer siempre agudo, tiende hacia un límite igual ó menor que un recto; 
el mismo ángulo CAB, por ser mayor que la mitad del HAE cuyo límite es 2 
rectos, tiende hacia un límite igual ó mayor que un recto; luego su límite es 
precisamente un ángulo recto, y como es ángulo de paralelismo, su distancia 
correspondiente AC tiende hacia cero. 
148. (Figs. 78, 79, 80, 81 y 82). Todo segmento AB de recta es mayor 
que su proyección normal MN sobre otra recta. 
Demostración. —Si AB y MN tienen un extremo común (Fig. 78), será 
AB> MN, por ser AB la hipotenusa, y MN un cateto del triángulo ABN. 
Si AB y MN se cortan en otro punto C (Fig. 79), será AC > MC, CB>CN, 
y por consiguiente, AC -|-CB> MC -|- CN, ó AB>MN. 
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l.° En el cuadrilátero birrectángulo ABDC, 
