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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
IX.—Elementos en el infinito é ideales. (*) 
154. I .—De dos rectas paralelas , se dice que se cortan en un punto lími¬ 
te ó infinitamente lejano , situado en la dirección de su paralelismo. De este 
convenio que ya se justificó (102 -Obs. 2. a ), y que tiene por objeto abreviar el 
lenguaje y dar generalidad á ciertas proposiciones, resulta inmediatamente que 
un punto límite está determinado por dos rectas paralelas, ó por un rajm recti¬ 
líneo que indique la dirección del paralelismo. Con el mismo objeto, es de gran 
utilidad la consideración de rectas y planos infinitamente distantes, y de puntos, 
rectas y planos idelales, cuya significación vamos á exponer en este artículo. 
II.—(Fig. 86). Supongamos que los dos planos ay 6 son paralelos, que 
el sentido de su paralelismo es el que indi¬ 
ca el rayo MA situado sobre a (122- Obs.), 
y que NB es la proyección normal de 
MA sobre 6, con lo cual el plano proyec¬ 
tante MANB será normal á los dos planos 
a y 6 (113-Cor.). El rayo MA se dirige 
hacia el punto en el infinito del rayo NB 
(102 -Obs. 2. a ): por con siguiente, si ese pun¬ 
to en el infinito fuera realmente un punto 
geométrico, estaría á la vez sobre los dos 
planos a y 6; y éstos se cortarían según una 
recta que pasaría por dicho punto (9), y de¬ 
bería ser normal en él á la recta MA, por 
serlo al plano MANB (71). Por este motivo, para afirmar que los dos planos 
a y 6 son paralelos, se dice también que se cortan según una recta limite ó 
infinitamente lejana , normal en el punto del infinito al rayo MA. 
De acuerdo con este lenguaje, como dos planos secantes determinan una 
recta, según la cual se cortan, la posición de una recta límite está definida por 
dos planos paralelos a y 6, ó por uno de estos dos planos y el rayo MA que indica 
la dirección del paralelismo. 
Por un punto N, exterior al plano a, pasan infinidad de planos paralelos al a 
M' 
(*) La expresión punto en el infinito de una recta, adoptada por Desargues (1630) y emplea¬ 
da en más amplio sentido por Newton (1687), como asimismo las denominaciones relativas á las 
rectas y plano infinitamente distantes, son ya de uso corriente en la Geometría vulgar. La- conside¬ 
ración de los elementos ideales, en la Geometría hiperbólica, está sugerida por Battaglini, quien 
para generalizar ciertas fórmulas, conviene en decir que las rectas de un plano normales á una recta 
del mismo, se cortan en un puntó ideal. (Véase su memoria Sulla Geometría imaginaria de 
Lobatschewsky , Giomale di Matematiche, 1867, t V, pág. 217. 
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