GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
72 
Por este motivo, diremos que dichos planos se cortan según una recta ideal. 
De lo expuesto, resulta que dos planos cualesquiera se cortan siempre; 
porque ó se cortan realmente según una recta geométrica; ó son paralelos, y 
entonces se dice que se cortan según una recta infinitamente lejana (154-11); ó 
tienen una normal común (143-III), en cuyo caso acabamos de ver que.se cortan 
según una recta ideal. 
III. Llamaremos plano ideal al conjunto de los polos correspondientes á 
todos los planos imaginables que pasan por un punto fijo A geométrico ó límite; 
y diremos que este punto es el polo de aquel plano, el cual, á su vez, será el plano 
polar del punto A. De esta definición, y de las relativas á los puntos y rectas 
ideales, resulta inmediatamente que, si una recta ideal tiene dos puntos en un 
plano ideal , tiene los demás puntos en dicho plano. 
156. Los anteriores convenios de lenguaje, relativos á los elementos ideales 
y á los infinitamente lejanos, permiten incluir en un mismo enunciado proposi¬ 
ciones al parecer muy diversas; y no pueden originar ningún error, mientras no 
se olvide su verdadera significación, mientras no se olvide que los puntos límites 
y los ideales no son puntos geométricos; que las rectas ideales y las infinitamente 
lejanas no son líneas; y que, tanto los planos límites como los ideales, no son 
superficies. Sin embargo, cuando se tema que estas denominaciones produzcan 
confusión, puede calificarse con el nombre de geométricos ó propios los verda¬ 
deros puntos, rectas y planos; y con el de impropios , los ideales y los infinita¬ 
mente lejanos. En todos los casos, las frases en que intervengan elementos 
impropios pueden traducirse á otras en que no figuren dichos elementos. Así, por 
ejemplo: la afirmación de que una recta propia se dirige hacia el punto en el 
infinito del rayo MA, significa que aquella recta tiene igual dirección que dicho 
rayo MA; decir que un plano geométrico a pasa por el punto en el infinito del 
rayo MA, significa que a es paralelo al rayo MA, ó lo contiene; cuando se 
dice que una recta propia b pasa por el punto ideal que es polo del plano a, debe 
entenderse que b es normal á a; afirmar que un plano geométrico 6 pasa por la 
recta ideal que es recíproca de la recta «, equivale á decir que 6 es normal á a. 
La admisión de los elementos ideales é infinitamente lejanos es de gran utilidad, 
porque, permitiendo considerar varias figuras, al parecer muy diversas, como 
casos particulares de una misma, da brevedad al lenguaje y generalidad á las 
proposiciones. Las leyes descriptivas fundamentales, referentes á los puntos, 
rectas y planos propiamente dichos, se cumplen también en el caso de que estos 
elementos sean impropios. Por no dar á esta teoría un desarrollo innecesario para 
las aplicaciones que haremos de ella, no entraremos en la generalización de 
aquellas leyes, limitándonos, por su importancia, y por vía de ejemplo, á la si¬ 
guiente proposición. 
157. Dos puntos (aunque no sean geométricos) determinan una recta , 
geométrica, limite ó ideal. 
Demostración. — Puede suceder que los dos puntos dados sean propios, ó 
86 
