74 
GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
(figs. 92 y 93) considérese el plano 6 que proyecta normalmente sobre el a la 
recta MC; y la recta límite de este plano proyectante 6, dirigida hacia el punto 
en el infinito del rayo MC, pasará también por A, puesto que dicha recta 
límite, por estar en el plano 6 y ser normal á la intersección de los planos nor¬ 
males a y 6 (154-11), debe considerarse como normal al plano a (70-1.°), es decir, 
como dirigida hacia el polo A de a. En el segundo caso, ó sea cuando la direc¬ 
ción del rayo MC no está contenida en el plano a (figs. 94 y 95), existe una 
sola recta n normal á a, y de la misma dirección que el rayo MC (129-11) la cual 
es la única recta que pasa por A y B. Obsérvese que, en este segundo caso, la 
recta n coincidirá con MC (fig. 94) ó será paralela al rayo MC (fig. 95) según 
que MC sea ó no sea normal al plano a. 
6.° Si los dos puntos A y B son ideales, y sus respectivos planos polares son 
a y 6, puede ocurrir que a y 6 se corten, que sean paralelos, ó que no cumplan 
ninguna de estas dos condiciones. Pues bien, en los dos primeros casos, la inter¬ 
sección geométrica ó límite de a y 6 tiene por recíproca una recta ideal, que es 
la única que pasa por A y B; y en el tercer caso, a y 6 tendrán una normal 
común única, que pasará por A y B. 
158. Hasta ahora hemos tratado de los elementos ideales con relación al 
espacio en general. Las siguientes propiedades y denominaciones se refieren 
solamente al plano. 
Si varias rectas de un plano a son normales á una recta b de él, se cortan en 
un punto ideal; porque son normales al plano 6 que corta normalmente al a, 
según la recta b. Pues bien, con relación al plano a, diremos que aquel punto 
ideal es el polo de la recta b, y que esta recta b es la polar del referido punto. 
Dos rectas de un mismo plano se cortan siempre; porque ó son concurrentes, 
ó paralelas, ó tienen una normal común: en el primer caso, se cortan según un 
punto geométrico; en el segundo, en un punto infinitamente lejano; y en el ter¬ 
cero, en un punto ideal. 
En un plano a, los polos de todas las rectas propias de este plano, que pasan 
por un punto fijo B geométrico ó ideal, forman una recta ideal, recíproca de la 
normal al plano a en el punto B: Esto advertido, diremos que, con relación al 
88 
