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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
X.—Mediatrices de los lados, y bisectrices de los ángulos, 
en el triángulo. 
160. Las mediatrices de los lados de un triángulo, situadas en el plano 
de éste , concurren en un mismo punto (geométrico limite ó ideal). 
Demostración.— (Figs. 96, 97 y 98.) Sean ABC el triángulo, y m, n, p , las 
normales á sus lados BC, CA, AB en sus puntos medios M, N, P, y situadas en 
el plano del triángulo. 
l.° (Fig. 96). Si n y p se cortan en un punto propio O, este punto, equi¬ 
dista de A y C, por estar sobre la mediatriz n 
del lado AC; y también equidista de A y B, por 
estar sobre la mediatriz p del lado AB; luego 
dicho punto O equidista de B y C, y pertenece, 
por lo tanto á la mediatriz m del lado BC. Lue¬ 
go, en este caso, las tres rectas m, n , p con¬ 
curren en un mismo punto geométrico O. 
2.° (Fig. 97). Si njp son paralelas, y ND, 
PE es su dirección de paralelismo, trácese den¬ 
tro del ángulo EPN una recta PF, hállese el 
punto B' simétrico de A, respecto de dicha recta 
PF, y fórmese el triángulo AB'C. Por ser PE 
paralelo á ND, la recta PF corta á la ND (101); sea O el punto de inter¬ 
sección. En el triángulo AB'C, las mediatrices PF, ND de los lados AB' y AC 
se cortan; luego, según el caso ya de¬ 
mostrado, la mediatriz del tercer lado 
B'C pasará por O. Ahora bien, si el 
ángulo EPF disminuye, la distancia NO 
aumenta, y si aquel es arbitrariamen¬ 
te pequeño, será NO arbitrariamente 
grande; pero, cuando dicho ángulo EPF 
tiende hacia cero, para los diversos 
elementos de la figura se obtienen los 
límites siguientes: para el triángulo 
AB'C, el ABC; para la mediatriz de 
B'C, la paralela al rayo ND, y normal 
al mismo tiempo á BC en su punto medio; luego las tres rectas m, «, p, con¬ 
curren en un punto infinitamente lejano. 
3.° Si n y p no se cortan ni son paralelas (fig. 98), tendrán una normal 
común ó. Sean AA', BB', CC', las distancias de los vértices del triángulo á la 
recta o. El cuadrilátero ACC'A' está dividido por la recta n en otros dos igua- 
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