MEDIATRICES DE LOS LADOS, Y BISECTRICES DE LOS ANGULOS EN EL TRIANGULO 77 
les; y, por consiguiente, es CC'= AA'; 
también la igualdad BB' = AA'; y de las 
BB' = CC'. Pero en un cuadrilátero 
BCC'B' con los ángulos rectos en B' y 
C', é iguales los lados BB', CC', la nor¬ 
mal al lado BC en su punto medio M 
debe ser normal al lado opuesto B'C'; 
luego la recta m es normal á o; luego 
ni, n y p concurren en un punto ideal, 
que es el polo de la recta o. 
Observación. —Si A, B y C están 
en línea recta, m, n y p concurren 
también en un mismo punto, que es el 
polo de aquella recta. Luego, cualquie 
ra que sea la situación de los puntos 
el cuadrilátero ABB'A', proporciona 
dos igualdades establecidas, se deduce 
B 
-\r 
1 
1 
1 
M i 
1 
l 
i 
i 
i 
i 
i 
i p 
i 
l 
m t 
i 
i 
n | 
i i 
i 
i 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
l 
i 
1 
1 
1 0 
B 1 A 1 0 
Fig. 98 
A, B y C, las mediatrices de los tres segmentos AB, BC y CA, situadas en 
un mismo plano , concurrirán en un mismo punto. 
161. En el triángulo , las bisectrices de dos cualquiera de sus ángulos 
externos , y la del ángulo interno situado en el tercer vértice, concurren en un 
mismo punto (geométrico , limite ó ideal). 
Demostración.— (P'igs. 99, 100 y 101), Sean ABC el triángulo, m la bisec¬ 
triz del ángulo A, y n, p las bisectrices de los án¬ 
gulos externos DBC, BCE. 
1. ° (Fig. 99). Si m y p se cortan, el punto O 
de intersección equidista de las rectas BD y BC, por 
estar sobre la bisectriz n del ángulo DBC; y tam¬ 
bién equidista de CB y CE, por pertenecer á la bi¬ 
sectriz p del ángulo BCE; iuego O equidista de BD 
y CE, y como además está situado dentro del ángulo 
BAC, la bisectriz m de este ángulo pasará por O. 
Luego si n y p se cortan, las tres bisectrices m, 
n y p concurren en un mismo punto geométrico O. 
2. ° (Fig. 100). Supongamos que n y p son para¬ 
lelas. Su dirección de paralelismo será la de los rayos 
BF, CG bisectores de los ángulos externos DBC, 
BCE, porque los ángulos FBC, BCG son agudos, por ser mitades de ángulos 
cóncavos. La bisectriz m del ángulo BAC corta al lado BC en un punto H; 
la paralela Fíl á BF, dirigida por H es paralela á CG; por consiguiente, si 
m no coincidiera con HI, sería interior á uno de los ángulos adyacentes BHI, 
IHC; y, por consiguiente, cortaría al rayo BF ó al CG; pero esto es imposible, 
porque (según el l. er caso) si dos bisectrices m y n, ó m y p, se cortaran, por 
el punto de intersección, pasaría la tercera bisectriz, y tendríamos que n y p 
