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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
los radios se llama circulo limite, aunque también suele darse este nombre á la 
circunferencia del círculo límite, ó sea al horiciclo. La base del horiciclo es una 
recta ideal (158). 
Cuando el centro es un punto ideal (fig. 104) ó en otros términos, cuando las 
rectas n, p , q,... tienen una normal común b , el ciclo es una línea abierta, que 
lleva el nombre de hiperciclo. Las distancias MA, NB, PC,... de los diferentes 
puntos del hipericiclo á la recta b se llaman alturas , y son todas iguales, pues por 
la simetría de los cuadriláteros MANB, MAPC,..., es MA = NB, MA = PC,.... 
Podemos, pues, decir que el hiperciclo es el lugar de los puntos de un plano , 
equidistantes de una recta b del mismo , y situados á un mismo lado de ella. 
El hiperciclo divide al plano en que yace, en dos regiones: á la que contiene las 
alturas le daremos el nombre de circulo ultralimite. 
En resumen, el ciclo comprende tres variedades, que son: la circunferencia 
de círculo, el horiciclo y el hiperciclo. En la circunferencia, el centro es geomé¬ 
trico, y la base ideal; en el horiciclo, el centro está infinitamente lejano, y la base 
■es ideal; en el hiperciclo, el centro es ideal, y la base geométrica. El punto puede 
considerarse como un círculo de radio nulo; y la línea recta como un hiperciclo 
de altura nula. 
163. En el ciclo: 
1. ° Toda recta de su plano , mediatriz de una cuerda, pasa por el centro; 
2. ° Toda recta de su plano , que pasapor el centro , es eje de simetría del ciclo. 
Demostración. — (Figs. 102, 103 y 104). 
1. ° Si M, N, P... son puntos de esta línea, y M es el punto fijo que ha ser¬ 
vido para definir todos los demás, la misma definición (162) expresa que las rectas 
n , p, q,... respectivamente normales á las cuerdas MN, MP, MQ,... en sus 
puntos medios, pasan por el centro del ciclo. Lo que falta es que probemos que lo 
mismo ocurre para otra cuerda cualquiera NP, que no tiene ninguno de sus ex¬ 
tremos en M. Sea x la recta (situada en el plano del ciclo) normal á la cuerda 
NP en su punto medio. Sabemos (160- Obs.) que las mediatrices ti, p y x de los 
tres segmentos MN, MP y NP concurren en un mismo punto; pero n y p con¬ 
curren en el centro del ciclo; luego por este mismo punto pasará también la 
recta x. 
2. ° Sean M el punto fijo del ciclo, que ha servido para definir todos los 
demás, y x una recta de su plano, que pasa por el centro. Se debe probar que 
todo punto del ciclo tiene sobre esta línea su simétrico respecto de x. Pues bien, 
por definición (162), el punto M y su simétrico, con relación á x i pertenecen al 
ciclo. Sean N otro punto cualquiera de esta línea, y P su simétrico respecto de 
x: las tres mediatrices n, p y x de MN MP y NP, situadas en el plano del 
ciclo, concurren en un mismo punto (160 -Obs.)-, pero n y x concurren en el cen¬ 
tro; luego por este punto pasará p; es decir, que P es simétrico del punto fijo 
M, con relación á una recta p que pase por el centro; y por lo tanto P es, por 
definición, un punto del ciclo. 
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