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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
plano del ciclo) mediatrices de las cuerdas MN y MP, deberían pasar á la vez 
por dichos centros (163-1.°); es decir, que n y p tendrían dos puntos comunes, 
lo que es absurdo, porque dichas mediatrices n y p son rectas diferentes. 
II. Dos hiperciclos de alturas desiguales no pueden coincidir. O de otro 
modo: un hiperciclo no puede tener dos bases. 
Porque, si las tuviera, tendría dos centros (los polos ideales de estas bases) 
lo cual es imposible (I). 
167. Toda cuerda NP de un círculo , (fig. 107), de un horiciclo (fig. 108), 
ó de un hiperciclo (cuya altura no sea nula) (fig. 109) forma con los dos ra¬ 
dios NA y PB, ó con las dos alturas NA y PB, que van d sus extremos, dos 
ángulos cóncavos, N y P, que son iguales y agudos. 
Demostración.— La recta x situada en el plano del ciclo, y mediatriz de la 
cuerda NP, pasa por el punto geométrico, límite ó ideal en que concurren NA y 
PB (163-1.°); y es, por lo tanto, eje de simetría de la figura ANPB; luego los 
Fig 108 
Fig. 109 
ángulos homólogos ANP y NPB son iguales. Además, son agudos; porque, si se 
trata de un círculo (fig. 107) son ángulos en la base de un triángulo isósceles 
ANB; si se trata de un horiciclo (fig. 108), son los ángulos de paralelismo, co¬ 
rrespondientes á la distancia iNP; y si se trata de un hiperciclo, cuya altura no 
sea nula (fig. 109), la recta a; divide al cuadrilátero ABPN en otros dos ADCN 
y BDCP que son trirrectángulos en A, D, C y B, D, C; y tienen, por lo 
tanto (131 - Cor.) agudos sus ángulos oblicuos en N y P. 
168. La circunferencia de circulo, el horiciclo y el hiperciclo (cuya altura 
no sea nula) son líneas curvas y convexas. 
Efectivamente (figs. 110, 111 y 112): tres puntos M, N,P, de cualquiera 
de estos ciclos, no pueden estar en línea recta, porque uno de los tres radios ó 
alturas MA, NB, PC, el MA por ejemplo, estará situado dentro del ángulo 
cóncavo NMP ó faja PCBN que forman los otros dos radios ó alturas; y como 
los ángulos NMA y AMP son agudos (167), la suma de los dos, ó sea el ángulo 
NMP, será menor que dos rectos. Y puesto que los referidos ciclos no pueden 
tener tres puntos en línea recta, son líneas convexas, y no pueden componerse 
de ninguna porción rectilínea; luego son líneas curvas. 
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