GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
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3. ° (Fig. 115). Si B está fuera del círculo límite (pero en su plano) el rayo 
BN corta al horiciclo en un punto C (164); y se tiene: 
MAB>MAC (porque MAC es parte de MAB); 
MAC = ACN (porque A y C son puntos del ciclo); 
ACN > ABN (porque ACN es ángulo externo del triángulo ABC). 
Y de estas tres relaciones, se saca la consecuencia MAB > ABN. 
4. ° Recíprocamente, el punto B, situado en el plano del círculo límite, 
estará dentro de este círculo, en su circunferencia ó fuera de él, según que el 
ángulo MAB sea menor, igual ó mayor que el ABN; porque la negación de la 
conclusión, en cualquiera de estos tres casos, conduce, en virtud de los tres recí¬ 
procos (ya demostrados) á una conclusión incompatible con el supuesto. 
170.—I. En el círculo límite, los puntos de una cuerda cualquiera (ex¬ 
cepto los extremos) son interiores al mismo; pero los de la prolongación son 
exteriores. 
Demostración. — (Fig. 116). 
Sea AB una cuerda de un hori¬ 
ciclo. Nos proponemos demostrar 
que todo punto C de esta cuerda, 
situado entre A y B, es interior 
al círculo límite; y todo punto D 
de la prolongación es exterior. 
Trácense los radios AM y BN, 
y por los puntos C y D los ra¬ 
yos CP y DQ paralelos al AM; y tendremos: 
PCB > MAB (117-III) y MAB = CBN (167); 
ADQ < ABN y ABN = MAB; 
luego PCB > CBN y ADQ < MAB; luego (169-11) el punto C es interior al 
círculo límite, mientras que el D es exterior. 
II. Toda cuerda de un hiperciclo (cuya altura no sea nula) es interior á 
lá faja de plano, limitada por 
dicha curva y su base; pero 
las prolnogaciones son exte¬ 
riores. 
Demostración. —(Fig. 117) 
Sean AB una cuerda del hiper¬ 
ciclo, D un punto de esta cuer¬ 
da (diferente de A y B) E un 
punto de la prolongación, y AM, BN, DQ, ER las distancias de los puntos 
A, B, D, E á la base b del hiperciclo. Como el cuadrilátero ABNM es simé- 
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