CÍRCULO, HORICICLO É HIPERCICLO 85 
trico, las rectas AB y b tienen una normal común CP,-determinada por los 
puntos medios C y P de los lados AB y MN; pero DC < AC y EC>AC; 
luego (149) DQ<AM y ER>AM. Estas desigualdades prueban (169-1) que 
el punto D es interior á la consabida faja, mientras que el E es exterior; y esto 
es lo que se quería demostrar. 
171. El horiciclo es normal d todos sus radios. O de otro modo: la tan¬ 
gente al horiciclo es normal al radio que va al punto de contacto. Todo otro 
punto de la tangente es exterior al circulo límite. 
El hiperciclo es normal d todas sus alturas. O lo que es lo mismo: la 
tangente al hiperciclo es normal á la altura que va al punto de contacto. La 
tangente es exterior d la faja limitada por el hiperciclo y su base. 
Demostración.— (Figs. 118 y 119). Sean A y X dos puntos del horiciclo 
(fig. 118) ó del hiperciclo (fig. 119), AM y XY los radios ó alturas correspon¬ 
dientes, s el eje de simetría de la faja ó cuadrilátero AMYX, y AT la normal 
á AM en A (situada en el plano de la figura). La recta s es normal á la cuerda 
AX, aunque ésta sea arbitrariamente pequeña. Si, permaneciendo fijo el punto 
A, la cuerda AX tiende hacia cero, la recta s tenderá hacia una posición lí¬ 
mite, que es la recta AM; luego la posición de la recta AX (por ser siempre 
normal á s) tendrá por límite la recta AT. Queda, pues, demostrado que la 
tangente en A es normal al radio ó altura MA que va al punto de contacto. 
Otro punto cualquiera B de la tangente al horiciclo (fig. 118) es exterior al 
círculo límite; porque siendo agudo el ángulo NBA de paralelismo, correspon¬ 
diente á la distancia BA, es menor que el recto BAN (169-11). 
Análogamente, en el hiperciclo (fig. 118), otro punto B de la tangente AT, 
distinto de) de contacto A, es exterior á la faja de plano comprendida entre el 
hiperciclo y su base. Efectivamente, si BN es la distancia de B á la base, será 
BN> AN (149); luego (169-1) B está fuera de la referida faja. 
172. (Figs. 120, 121 y 122). Si un ángulo NQP está circunscrito d un 
ciclo , su vértice equidista de los dos puntos de contacto N y P; y su bisedris 
QC pasa por el centro, y es mediatris de la cuerda NP, que une aquellos dos 
puntos. 
Demostración.— (Figs. 120, 121 y 122). Sean INA y PB los radios ó alturas 
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