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CÍRCULO, HORICICLO É HIPERCICLO 
centro dicho punto de intersección, y pase por M, pasará evidentemente por 
N y P (163-2.°). Todo otro ciclo que pase por 
M, N y P, coincidirá con el anterior (165-1), 
pues estará en el mismo plano MNP, y tendrá 
con aquel ciclo un punto común M y el mismo 
centro, porque éste debe hallarse á la vez so¬ 
bre las dos rectas n y p. Luego por los tres 
puntos M, N, P pasa un ciclo, y solamente 
uno. 
Corolarios. —Dos ciclos que tienen tres puntos comunes , coinciden. Dos 
ciclos diferentes no pueden tener más de dos puntos comunes. 
176. (Figs. 128, 129 y 130). Para todo triángulo ABC, existen tres ciclos 
ex-inscritos, cada uno de los cuales toca á un lado del triángulo y á las pro¬ 
longaciones de los otros dos. 
Demostración. — Las bisectrices de los ángulos externos DBC y BCE se 
cortan en un punto O geométrico (fig. 128), límite (fig. 129), ó ideal (fig. 130), 
cuya proyección normal R sobre la recta BC existe siempre (129-I), y cae entre 
B y C, pues aunque O sea ideal (fig. 130), BC y la normal común o á las bisec¬ 
trices OB y OC tienen una normal común RR', por ser agudos los ángulos en 
B y C del cuadrilátero birrectángulo BB'C'C (141). Llévense sobre las prolon¬ 
gaciones BD y CE las longitudes BT = BR y CS = CR; y trácense las rectas 
OT y OS. Como la bisectriz OB es eje de simetría de la figura OTBR, resulta 
recto el ángulo OTB, por serlo su homólogo BRO, y, además será T el punto 
simétrico de R, con relación á la bisectriz OB. 
M 
Análogamente, resulta recto el ángulo OSE, y S simétrico de R, respecto 
de la bisectriz OC. De todo lo cual se infiere que, si en el plano del triángulo 
ABC, tomando O por centro, se construye un ciclo que pase por R, este ciclo 
pasará también por S y T, y tocará recpectivamente en R, S y T á las 3 
rectas BC, CA y AB. 
Otro ciclo que tocara también al lado BC y á las prolongaciones BD y CE 
MEMORIAS.—TOMO Vil. 103 14 
