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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
de los otros dos, coincidiría con el anterior. Efectivamente, dicho ciclo, por estar 
inscrito en los ángulos DBC y BCE, tendría sus centros sobre las bisectrices 
de estos ángulos (172), ó sea en su intersección O; y además, tocaría al lado BC 
en la proyección normal R de O sobre este lado. Así, los dos ciclos tendrían el 
mismo plano, el mismo centro y un punto R común; luego (165-1) estarían en 
coincidencia. 
En resumen, queda demostrado que dentro del ángulo A existe un ciclo 
ex-inscrito, y uno solo; y de igual modo se probaría que lo mismo ocurre para los 
otros dos ángulos B y C del triángulo ABC. Luego existen tres ciclos ex-ins- 
critos á este triángulo; y no existen más. 
177. (Fig. 131). Si se divide un arco NT de ciclo en partes iguales, las 
cuerdas correspondientes á estos arcos forman una línea quebrada regular 
NPQRST. 
Si un arco iNT de ciclo está dividido en partes iguales, y una linea que¬ 
brada y convexa NABCDET toca á este arco en sus extremos N, T y en todos 
los puntos de división P, Q, R, S, la linea quebrada ABCDE será regular. 
Demostración. —1.° Las figuras constituidas porcada arco-parcial, su cuer¬ 
da y los dos radios ó alturas que van á sus extremos, son iguales, porque coinci¬ 
den, cuando se las coloca de manera que coincidan sus arcos. Infiérese de esto, 
que son iguales los lados de la línea quebrada inscrita NPQRST, é iguales tam¬ 
bién todos los ángulos agudos que con estos lados forman los radios ó alturas 
dirigidos á sus extremos; v pero cada dos de estos ángulos componen uno de la 
línea quebrada inscrita; luego esta línea tiene todos sus ángulos iguales; y como 
según hemos visto, también tiene iguales todos sus lados, es regular. 
2.° Los triángulos NAP, PBQ, QCR,... son isósceles y además iguales, 
por serlo sus bases NP, PQ QR,... (según acaba de probarse) y tener iguales 
todos los ángulos en las bases, como complementos de los ángulos (iguales, según 
hemos visto) que las cuerdas NP, PQ, QR,... forman con los radios ó alturas 
que van á sus extremos. Por lo tanto, serán iguales por una parte los ángulos 
homólogos A, B, C, D y E, y por otra los lados homólogos AP, PB, BQ, 
QC,..., y también sus duplos, ó sea los lados AB, BC, CD, DE de la línea 
quebrada circunscrita ABCDE. Luego esta línea es regular. 
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