CÍRCULO, HORICICLO É HIPERCICLO 
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178. Para toda linea quebrada regular , existe un ciclo circunscrito , y otro 
incrito, los cuales son concéntricos. 
Demostración. — (Fig. 132). Sea ABCDEF la línea quebrada regular. 
Vamos á ver que el ciclo determinado por los tres primeros vértices A, B, C, 
pasa también por todos los otros, La mediatriz n del lado BC, situada en el 
plano de dicho ciclo, es eje de simetría de esta línea (163-2.°); y como, por ser 
regular la línea quebrada, el vértice D es simétrico de A, respecto de aquel 
eje n , dicho ciclo pasará por D. Análogamente, la mediatriz p de la cuerda 
CD (situada en el plano de la figura) es eje de simetría del ciclo; y como el vér¬ 
tice E es simétrico del B respecto de p, dicho ciclo pasará por E. Y reite¬ 
rando este razonamiento, se verá que el ciclo determinado por los tres primeros 
vértices A, B, C, pasa por todos los otros. Existe, pues, un ciclo circunscrito 
á la línea quebrada regular ABCDEF. 
El ciclo concéntrico con el anterior, que pasa por el punto medio M del lado 
AB, y está en el plano de dicha línea quebrada, pasa también por los puntos 
medios N, P, Q, R, de los otros lados. Efectivamente, pasa por N (169) 
porque los ángulos OMN y MNO son iguales, como complementos de los án¬ 
gulos en la base del triángulo isósceles BMN. Ahora, fundándonos en que dicho 
ciclo pasa por N, demostraríamos que pasa por P; y, reiterando el razona¬ 
miento, veríamos sucesivamente, que pasa por Q y R. Además, este ciclo toca 
en M, N, P, Q y R á los lados de la línea quebrada, porque estos lados son res¬ 
pectivamente normales á las rectas m, n, p, q, r, que unen el centro con aque¬ 
llos puntos (171). Existe, pues, un ciclo inscrito en la línea quebrada regular 
ABCDEF, que es concéntrico con el inscrito. 
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