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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
XII.—Esfera, horisfera é hiperesfera. 
179. Si un ciclo gira alrededor de uno de sus ejes, la superficie de revolu¬ 
ción, que describe, lleva en sentido lato, el nombre de superficie esférica. Su 
centro es el centro del ciclo generador; su base es el plano polar de este punto; 
y sus ejes las rectas que pasan por el centro, el cual, como ya sabemos, puede 
ser geométrico, límite ó ideal. En los tres casos, la superficie de que se trata 
divide al espacio en dos regiones: la que contiene los radios ó alturas del ciclo 
generador se llama esfera propiamente dicha, horisfera ó hiperesfera , según 
que aquel ciclo sea una circunferencia de círculo, un horiciclo ó un hiperciclo. 
En la esfera propiamente dicha, el centro es un punto geométrico, la base 
un plano ideal, y la superficie cerrada, con todos sus puntos equidistantes del 
centro. En la horisfera, que también se llama esfera límite , el centro está infi¬ 
nitamente lejano, la base es ideal, y la superficie abierta y sin orillas. Los rayos 
rectilíneos, que, empezando en la superficie, se dirigen hacia su centro, y son por 
consiguiente paralelos, se llaman radios. 
En la hiperesfera, á la cual llamaremos también esfera ultralimite , su 
superficie es también abierta y sin orillas, el centro es ideal, y la base un plano 
geométrico, el descrito por la base del hiperciclo generador, girando en torno 
del eje de revolución. Las distancias de este plano á los diferentes puntos de la 
superficie hiperesférica se llaman alturas , y son todas iguales, pues son las diver¬ 
sas posiciones que adquieren las alturas del hiperciclo generador. Podemos, pues, 
decir que la superficie de la hiperesfera es el lugar de los puntos equidistantes 
de un plano fijo, y situados á un mismo lado de él. 
En resumen, la esfera comprende tres variedades, que son: la esfera pro¬ 
piamente dicha, la horisfera ó esfera límite, y la hiperesfera ó esfera ultralimite. 
En la esfera propiamente dicha, la superficie es cerrada, el centro geométrico y 
la base ideal. En la horisfera, la superficie es abierta y sin orillas, el centro, 
infinitamente lejano, y la base es ideal. En la hiperesfera, la superficie es también 
abierta y sin orillas, el centro ideal y la base geométrica. El punto puede consi¬ 
derarse como una esfera de radio nulo, y el plano como una hiperesfera de altura 
nula. 
180. I. (Fig. 133). Supongamos que 
una circunferencia c, de centro O, y un ho¬ 
riciclo h, situados en un mismo piano, se 
tocan internamente en A. Sabemos (174 -I) 
que, si permaneciendo fijos el punto A y 
la normal AO común á las dos curvas, el 
centro O se aleja indefinidamente de A en 
la dirección AO, la circunferencia c tiende 
á ocupar una posición límite, que es el hori- 
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A 
Fig. 133 
