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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
Demostración —1.° (Fig. 136). En la esfera propiamente dicha, cuyo centro 
es O, los dos ángulos cóncavos OMN y MNO, que la cuerda MN forma con los 
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Fig, 136 
Fig. 137 
radios OM y ON, son iguales y agudos, porque son ángulos en la base del 
triángulo isósceles OMN (35). 
2. ° (Fig. 137). En la hiperesfera que tiene la cuerda MN y las alturas MA 
y NB, son iguales y agudos los ángulos cóncavos AMN y MNB, porque el 
cuadrilátero convexo ABNM tiene rectos los ángulos en A y B, é iguales los 
lados MA y NB. (20). 
3. ° (Fig. 138). Consideremos, finalmente, una horisfera. Sea PM el horiciclo 
que, girando en torno de su radio PC, describe la superficie horisférica. Toda 
cuerda de esta superficie, tal como PN, que tiene su extremo en P, forma con 
ios radios PC y NB los ángulos cóncavos BNP y NPC iguales y agudos, por 
ser PN cuerda de un horiciclo meridiano (167). Lo que falta probar es que lo 
mismo ocurre para cualquiera otra cuerda MN de la horisfera, que no tenga nin¬ 
gún extremo en P. Márquese un punto O sobre el rayo rectilíneo PC; y, hacien¬ 
do centro en O, con radio OP, descríbase una superficie esférica, la cual cortará 
á las aristas OM, ON, OP del triedro OMNP en los puntos M', N', P, y á 
las caras POM, PON según los arcos de círculo PM', PN'. Si el centro O se 
aleja indefinidamente de P en la dirección PC, dichos arcos de círculo PM' y 
PN' tendrán por respectivos límites los arcos de horiciclo PM y PN; y, por lo 
tanto, los ángulos AMN y MNB, que forma la cuerda MN con los radios MA 
y NB, serán los respectivos límites de los OM'N' y N'M'O; pero estos dos son 
iguales (porque OM' = ON'); luego también lo son sus límites AMN y MNB. 
Que estos dos ángulos cóncavos son agudos, resulta de que son iguales, y su¬ 
man menos de dos rectos, en atención á que los rayos MA y NB son parale¬ 
los (117-III). 
183. I. En la superficie hiperesférica, para todo punto que esté con ella á 
un mismo lado de su base , la distancia d esta base es menor , igual ó mayor 
que la altura, según qne dicho punto esté dentro del estrato comprendido por 
la base y la superficie hiperesférica, sobre esta misma superficie, ó fuera de 
dicho estrato; y viceversa. 
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