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ESFERA, HORISFERA É HIPERESFERA 
Porque la superficie hiperesférica es el lugar de los puntos equidistantes de 
su base, y situados á un mismo lado de ella. 
II. (Figs. 113, 114 y 115 de la pág. 83). Si A es punto de una superficie 
horisférica , B otro punto cualquiera, AM un radio, y BN un rayo rectilíneo 
paralelo á AM, podremos afirmar que el ángulo MAB será menor, igual ó 
mayor que el ABN, según que el punto B esté dentro de la horisfera, en su 
superficie ó fuera de aquélla; y viceversa. 
Se demuestra de igual modo que la ley análoga del horiciclo. 
184. La superficie esférica , la horisférica y la hiperesférica (cuya altura 
no sea nnla) son superficies curvas y convexas. 
Demostración. —(Fig. 139). Tres puntos M, N, P de una cualquiera de 
dichas superficies no pueden estar en línea recta; 
porque, si lo estuvieran, uno de los tres, el N por ejem- M ¡y P 
pío, caería entre los otros dos; y trazando su radio ó 
altura NB, sería no agudo alguno de los dos ángulos 
adyacentes MNB y BNP, lo cual es imposible, pues g 
ya sabemos (1811) que los ángulos cóncavos que forman Fjg 13g 
las cuerdas MN y NP con los radios ó alturas que 
van á sus extremos, son agudos. Y puesto que las referidas superficies no pue¬ 
den tener tres puntos en línea recta, son convexas, y no se componen de nin¬ 
guna porción plana; luego son también superficies curvas. 
185. I. Dos superficies esféricas {de centro propio ó impropio) que tienen 
un punto común y el mismo centro, coinciden. 
Demostración. —(Fig. 140). Designemos por a y 6 las dos superficies es¬ 
féricas que tienen un punto M común y el mismo centro 
¡\¡ (geométrico, límite ó ideal). Para todo otro punto N de la 
7 superficie a, serán iguales los dos ángulos cóncavos M y N 
/ que la cuerda MN forma con las rectas MA y NB, diri- 
/ gidas desde M y N al centro, (182); y esto prueba que el 
^ punto N está sobre 6. Tenemos, pues, demostrado que 
Fig. 140 r ' r 
todo punto N de la superficie a pertenece á la o; y 
como de igual modo se probaría que todo punto de 6 pertenece á a, debemos 
deducir que ambas superficies « y 6 son una misma. 
II. Todas las horisferas son iguales. También lo son todas las hiperesfe- 
ras de igual altura. 
Porque, las horisferas ó hiperesferas, de que se trata, pueden ser colocadas 
de manera que sus superficies tengan un punto común y el mismo centro; y en¬ 
tonces coincidirán (I). 
186. La superficie esférica {de centro geométrico, limite ó ideal) es de 
revolución alrededor de cualquiera recta que pase por su centro. 
Demostración. — (Fig. 141). Supongamos que una superficie esférica ha sido 
descrita por la revolución del ciclo MP alrededor de su radio ó altura MA. 
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