GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
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Vamos á probar que. si x es otra recta cualquiera que pasa por el centro, dicha 
superficie también puede ser descrita por la revolución de cierto ciclo alrededor 
de x. Pues bién, la superficie esférica corta á la recta x en un punto N (181), y a¡ 
plano de las dos rectas MA y x según una línea 
MN, que será igual á la MP, porque ambas son 
meridianos correspondientes al eje MA. Pero la 
superficie esférica de que se trata, coincidirá con¬ 
sigo misma, si la colocamos de manera que, 
conservando su mismo centro, el punto N se 
situé en M (185 -1): luego la figura constituida 
por dicha superficie y la recta MA es igual á la 
constituida por la misma superficie y la recta 
NB; y como la primera figura es de revolución 
alrededor de MA, la segunda también lo será alrededor de la recta NB homó- 
loga de MA. 
187. En la esfera limite y en la hiperesfera {cuya altura no sea nula) los 
puntos de una cuerda {excepto los extremos) son interiores d dichas esferas; 
mientras que los de las prolongaciones son exteriores. 
Se demuestra de igual manera que las proposiciones análogas para el hori- 
ciclo é hiperciclo. 
188. Cortando una horisfera por un plano , la sección que resulta es un 
círculo limite, si el plano secante pasa por el centro; y un circulo finito, en el 
caso contrario. 
Demostración. —1.° (Fig. 142). Sean l la línea de intersección de una su¬ 
perficie horisférica con un plano a que pasa por su centro, M un punto de esta 
línea, y MA el radio correspondiente. Todo punto N 
de esta línea pertenece al horiciclo que, estando si¬ 
tuado en el plano a, tiene MA por uno de sus radios; 
porque, si NB es el radio de la horisfera, correspon¬ 
diente al punto N, serán iguales los ángulos cónca¬ 
vos AMN y MNB (182 y 169-11). Recíprocamente, 
todo punto N de dicho horiciclo está sobre la intersec¬ 
ción l de la superficie horisférica con el plano a; pues¬ 
to que, á causa de estar M y N sobre aquel horiciclo, serán iguales los án¬ 
gulos cóncavos AMN y MNB. Luego el referido horiciclo es la intersección 
de la superficie horisférica con el plano a, que pasa por su centro. 
2.° (Fig. 143). Si el plano secante a no pasa por el centro de la superficie 
horisférica, sean M y N dos puntos de la intersección, y MA y NB los radios 
correspondientes. Los ángulos AMN y MNB son agudos (182), y de esto se in¬ 
fiere que el plano secante a es oblicuo á MA; y que, por lo tanto, existirá una 
recta x normal al plano a, y paralela al rayo MA (129-II). La superficie ho¬ 
risférica es de revolución alrededor del eje x (186); y como el plano secante a 
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