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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
MA, NB, PC,.... las distancias de estos mismos puntos á la recta b. Los trián¬ 
gulos rectángulos MM'A, NN'B, PP'C,....son iguales, porque tienen iguales 
los catetos MM', NN', PP'...., como alturas de la misma hiperesfera, é igua¬ 
les también los ángulos agudos en A, B, C,...., por ser secciones rectas de uno 
de los dos diedros agudos que forman los planos a y 6. Y, de la igualdad de 
estos triángulos rectángulos, se sigue la de sus hipotenusas MA, NB, PC.... Es 
decir, que todos los puntos M, N, P, .... de la línea / equidistan de b ; y como, 
además, están sobre un mismo plano a y á un mismo lado de 6, caerán sobre un 
hiperciclo h de base b. 
Recíprocamente, todo punto Q de este hiperciclo pertenece á la intersección 
l de la superficie hiperesférica con el plano a. Efectivamente, si QD es la dis¬ 
tancia de Q á la recta &, y QQ' la distancia del mismo punto al plano 6, serán 
iguales los triángulos rectángulos QQ'D y MM'A, porque tienen iguales sus 
hipotenusas QD y MA, como alturas del hiperciclo h, é iguales también sus án¬ 
gulo agudos en D y A, como secciones rectas de un mismo diedro. Por lo tanto, 
los catetos homólogos QQ' y MM' son iguales; y puesto que el punto Q dista de 
la base 6 una longitud igual á la altura MM' de la hiperesfera, y se halla con 
ésta á mismo lado de la base, cae sobre la superficie hiperesférica. Luego la lí¬ 
nea l es un hiperciclo de base b. 
2.° (Fig. 145). Supónganos que el plano a es paralelo á la base 6 de la 
hiperesfera; y sean MA la dirección del paralelismo, N un punto de la línea l en 
que se cortan el plano a y la superficie hiperesférica, NB el rayo paralelo al 
MA, dirigido por N, h el horiciclo situado en el plano a, que tiene NB por uno 
de sus radios, y NN' la al¬ 
tura de la hiperesfera, cor¬ 
respondiente al punto N. 
Todo punto P de la lí¬ 
nea l cae sobre el horiciclo 
h. Efectivamente, trácense 
por P el rayo PC paralelo 
al MA, la distancia PP' de 
P al plano 6, y los rayos 
N'B', P'C' paralelos al MA, 
que resultarán situados en 
6. Los planos B'N'NB y 
C'P'PC son normales al 6, y 
por consiguiente al a (113-11 
-Corol.). Los triedros NN'PB 
y PP'NC tienen respecti¬ 
vamente iguales y dispues¬ 
tos en orden inverso los elementos siguientes: l.° Las taras N'NB y P'PC, 
como ángulos de paralelismo correspondientes á las alturas iguales NN' y PP' 
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