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ESFERA, HORISFERA É HIPERESFERA 
de la hiperesfera; 2.° Las caras N'NP y NPP', como ángulos homólogos del 
cuadrilátero simétrico y birrectángulo NPP'N'; y 3.° Los diedros NB y PC, por 
ser rectos. Y, como además los ángulos iguales N'NB y P'PC son agudos, se 
deduce sucesivamente (99) que dichos tiedros son simétricos; que sus caras homó- 
logas PNB y CPN son iguales; y que el punto P pertenece al horiciclo /?, es 
decir, al que, estando situado en el plano a, tiene NB por uno de sus radios 
(169-11). Queda, pues, demostrado que todo punto P la intersección l pertenece 
al horiciclo h. 
Recíprocamente, todo punto P del horiciclo h está sobre la intersección /. 
En efecto, los triedros NN'PB y PP'NC tienen respectivamente iguales y dis¬ 
puestos en orden inverso los elementos siguientes: l.° Las caras PNB y CPN, 
por ser N y P puntos del horiciclo h\ 2.° Los diedros NB y PC, por ser rectos; 
y 3.° Los diedros NP y PN, porque son uno mismo. Por consiguiente, sus caras 
homólogas N'NB y P'PC son iguales; y como á estos ángulos de paralelismo 
corresponden las distancias NN' y PP', éstas serán iguales; luego el punto P 
está sobre la superficie hiperesférica dada, cuya altura es NN'; y por lo tanto, 
en la línea l. Luego todo punto P del horiciclo /z, pertenece á la línea / en que 
se cortan el plano a y la superficie hiperesférica; y como ya hemos probado 
que, recíprocamente, todo punto de l pertenece á h , se debe concluir que la lí¬ 
nea / es un horiciclo h. 
3.° (Fig. 146). Consideremos, finalmente, el caso en que el plano a no corta 
á la base 6 de la hiperesfera, ni le es paralelo. Entonces a y 6 tienen una nor¬ 
mal común x (143-III); es decir, existe una recta x que pasa por el centro de la 
hiperesfera, y es normal al plano a. Ahora bien, la superficie hiperesférica es de 
revolución alrededor del eje x (186); y como el plano secante a es normal á este 
eje, cortará á dicha superficie hiperesférica según un paralelo de la misma, ó sea 
según una circunferencia de círculo. Decimos que su intersección será una cir- 
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