106 GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
cierto arco de horiciclo: efectivamente, tra¬ 
zando CM normal á BC, BN paralelo á CM, 
y finalmente el horiciclo dirigido por B en el 
plano BCN, y que tenga por uno de sus ra¬ 
dios al rayo BN, este horiciclo cortará (164) 
á la recta CM en un punto A; y el arco AB 
tendrá BC por ordenada. 
198.— Lema. — En todo triángulo rectán¬ 
gulo, el seno de un ángulo agudo es igual 
á la razón entre los dos arcos horiciclares, 
cuyas respectivas ordenadas son el cateto 
opuesto y la hipotenusa. 
Demostración. —(Fig. 153).—Sea el triángulo ABC, rectángulo en A. Trá¬ 
cese, por B, la normal BN al plano del triángulo; y, por los otros vértices. A y 
C, diríjanse los rayos AM, CP paralelos al BN. La superficie de la esfera lími¬ 
te, que pasa por C, y tiene el rayo rectilíneo CP por radio, está cortada por las 
tres paralelas auxiliares en tres puntos C, A', B', 
que determinan un triángulo A'B'C de la esfera 
límite, formado por arcos de horiciclo. De esta 
construcción, resulta que el plano ABC es nor¬ 
mal al ABN, por serlo á una recta BN de este 
plano; luego la recta CA, situada en uno de estos 
dos planos (el ABC), y normal por hipótesis, á 
su intersección AB, debe ser normal al otro 
plano ABN; y también á la recta AM de este 
otro. Infiérese de esto, que el plano ABM es nor¬ 
mal al ACM, por serlo á una recta AC de este 
último. Además, el ángulo rectilíneo ABC y el 
curvilíneo A'B'C son iguales, por que el primero 
es una sección recta del diedro BN, y las tan¬ 
gentes en B' á los arcos B'A' y B'C forman otra 
sección recta. En cuanto al ángulo curvilíneo 
CA'B' es recto, por serlo su diedro correspon¬ 
diente AM. Resulta, pues, que, entre los ele¬ 
mentos de un triángulo rectilíneo ABC y los del curvilíneo A'B'C existen las 
relaciones siguientes: 
áng. A = áng. A'= 90°, áng. B = áng. B', 
AC = ordenada del arco A'C, 
BC = ordenada del arco B'C. 
120 
considerarse como ordenada de 
B 
Fig. 152 
