LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 
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ch a -f- sh a = e a i 
ch a — sh a = e 
ch 2 a — sh 2 a = t, 
th a 
sh a 
ch a 
cot h a 
ch a 
sh a 
Demostración.— Las tres primeras fórmulas se desprenden inmediatamente 
de la definición de las funciones hiperbólicas; la cuarta y quinta resultan de 
sumar y restar ordenadamente las igualdades 
ch a 
e 
a . — a 
-j-e 
2 
a — a 
la sexta se obtiene multiplicando ordenadamente la cuarta y quinta; y las dos 
últimas se establecen de este modo: 
2 a , 1 — a 1 
e ~ 1 T * < 
y-*) 
t( 
a — a \ 
e — e ) 
sh a 
2 a . , 1 — a 1 
e + 1 ~2 e ( 
> 2 ‘+0 
-H 
a — a \ 
e -j-e ) 
ch a 
cot h a = 1 
: th a = 1 
sh a 
ch a 
ch a 
sh a ’ 
203.—I. Las funciones hiperbólicas directas son periódicas: el período 
es 2 tcí para el seno, coseno, cosecante y secante, y tcí para la tangente y co¬ 
tangente. 
En efecto: sh z, ch z, cosec h z, sec h z son funciones de e 3 y e~ 3 \ y 
como estas exponenciales no varían, cuando z aumenta ó disminuye en un múlti- 
pío de 2tz¿, tampoco varían dichas funciones. Además, e" y e nose alte¬ 
ran, si á z se agrega ó sustrae un múltiplo de tc/; luego tampoco se alteran th z 
y cot h 2 , que son funciones de e~ 3 y e . 
lí .—Si al arco se le cambia el signo, el coseno hiperbólico permanece inva¬ 
riable; pero el seno, tangente y cotangente hiperbólicos se cambian en los res¬ 
pectivamente opuestos. Es lo que expresan las fórmulas 
sh (— a) = — sh a, ch (— d) = ch a, 
th (— > 1 ) = — th cot h (—<*) = — cot h a. 
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