GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
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Porque, si en las igualdades que sirven para definir las funciones hiperbóli¬ 
cas del arco a, se cambia a por — a , no sufre alteración el coseno; mientras que 
el seno, tangente y cotangente no hacen más que cambiar de signo. 
III .—Si el arco a se cambia por tcí — a, no se altera el seno hiperbólico; 
pero el coseno, tangente y cotangente hiperbólicos adquieren los respectivos 
valores opuestos. Así, 
sh (ra—a) = sha, ch(ra — a) =— cha, 
th (ni — a) = — th a, cot h (ni — a) = — cot h a. 
Demostración.— Teniendo presente que e 111 = — 1 , y e ~ 711 = — 1, y que 
por consiguiente, 
7Zi o, ~~ (i — TC i "T“ & ci 
e = — e , e — — e , 
efectuaremos las siguientes deducciones: 
sh (ni 
\ 1 ( m — a _ 7 c z -q- a \ 1 / 
— a) = — \e —e ) = — { — 
— a , a 
e +e 
)== sh a, 
i / • \ 1 / "TTz — ci . — TC i -j— 1 / — ci i 
ch (ni — a) = — \e -j-e J = —-\—e —e ) = — cha, 
que demuestran las dos primeras fórmulas del enunciado. Las otras dos pueden 
establecerse directamente por igual procedimiento; y también de este otro modo: 
th (ni — a) 
sh (to — a) 
(ch ni — a) 
sh a 
— ch a 
= — th a, 
cot h(TW — a) 
i’h (ni — a) 
sh (ni — a) 
— ch a 
-- = — cot. 
sh a 
h 
a, 
IV .—Si un arco aumenta ó disminuye en ni, la tangente y cotangente 
hiperbólicas no varían; pero el seno y coseno hiperbólicos adquieren los res¬ 
pectivos valores opuestos. Es decir, que 
sh (a±ní) = — sha, ch (a±ni ) = — ch a, 
th (a ± ni ) = th a, cot h (a ± ni ) = cot h a. 
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