LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 
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Demostración. —La tangente y cotangente hiperbólicas son funciones pe¬ 
riódicas, cuyo período es ni (I); y por lo tanto no varían, cuando su arco aumenta 
ó disminuye en el período ni. Las dos últimas fórmulas ya están pues, demostra¬ 
das; y sólo falta establecer las dos primeras. Para conseguirlo, teniendo presente 
±ni 
que e — — 1 , y que por lo tanto, 
i 
a 4- m a — a -+• TC* — a 
e = — e , e — — e , 
efectuaremos las siguientes deducciones: 
, , . .. 1 / a+m — « + 7 CA 1 ( a , 
sh (a + m) = — \e —- e / = •—-\e —e ) — — sha, 
, / , 1 ( a ±Ki — a + ni \ lía —a) , 
ch (a + Ttz) = — \e -j-e )—~ — \e -\- e ) — —cha. 
V .—Entrelasfuncioneshiperbólicas de los arcos a y \n\ — a (quesuman 
un cuadrante imaginario -^-n\J existen las relaciones siguientes: 
sh —(¡j = ?ch «, ch 
m 
a = 
— i sh a, 
th 
== — cot h a, 
cot h 
= —th d. 
_i_ 
Demostración.— Por ser e 2 70 =í, e 2 1 
= —i ¡ tendremos: 
1 / 1 . \ 1 / —- n 1 — a -— TC; + a \ I — a .. a \ . , 
sh ni — a) = — \e 2 — e 2 )= — \ie -\-ie ) = 1 ch a ; 
luego sh ni — a) = i ch a, que es la primera fórmula del enunciado. Cambian¬ 
do en ésta, a por \-ni — a, y multiplicando sus dos miembros por — z, resulta la 
segunda. Ahora, fundándonos en las dos ya demostradas, estableceremos las dos 
últimas, del modo siguiente: 
th (i-TCÍ-fl). 
sh ni — a) 
ch ni — a) 
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i ch a . 
-f sha 
cot h a , 
