GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
118 
cot h i^-ni — a) = -—-—-— =-—r— = — th a . 
12 ' th(-i- 7 K — a) —cot ha 
204.— Si z crece desde — oo hasta 0, y después desde 0 hasta-\- oo, el seno , 
coseno, tangente y cotangente hiperbólicos varían del modo siguiente: 
1. ° El seno crece primero desde — co hasta 0, y después desde 0 hasta 4- oc; 
2. ° El coseno mengua primero desde-\- oo /zasía-f- 1. y después crece des¬ 
de 1 hasta oo / 
3. ° La tangente crece al principio desde — 1 hasta 0, y luego desde 0 
hasta -(- 1; 
4. ° La cotangente mengua primero desde — 1 hasta — oo, y después desde 
-f oo hasta 4 - 1 . 
Demostración, — 1.° Si z crece, también crece ~(e 3 — e~ 3 ), 6 sea el seno 
hiperbólico de z , porque en aquella semi-diferencia crece el minuendo y mengua 
el sustraendo. Además, se tienen los valores límites sh ( — 00 ) = — 00 , sh 0 = 0, 
sh ( 4 - 00 ) = 4* 00 • 
2. ° La expresión ^-{e x 4- é~ *), ó sea ch z ) es positiva para todos los valo¬ 
res reales de z. Si, permaneciendo real, crece el valor absoluto de z, crece tam¬ 
bién sh 2 z (según hemos demostrado antes); luego lo mismo ocurre á ch 2 z, en 
atención ( 202 ) á que ch 2 z = sh 2 z-f- 1 . Y puesto que chz es positivo, y su cuadrado 
crece Con el valor absoluto de z, también crecerá ch z. Se tienen, además, los va¬ 
lores límites siguientes: ch( — 00 ) = - 4 oo, chO=l, ch(-(-oo) = -|-oo. 
3. ° y 4.° Escribiendo las expresiones 
th z ■■ 
2a , 
e — 1 
2 a , 
<? 4-1 
bajo la forma 
th z = 1 — 
2s 1 1 
g 4-1 
cot h z = 
2a . , 
g +1 
2a , 
e — 1 
2 
cot h z = 1 4 - — - 
e~ — 1 
se ve claramente que, cuando z crece, primero desde — oo hasta 0 , y después 
desde 0 hasta 4-00 , la tangente hiperbólica crece primero desde —1 hasta 0, y 
después desde 0 hasta 4- 1; y que la cotangente mengua al principio desde — 1 
hasta— 00 , salta después al valor 4 - 20 , y continúa después menguando desde 
4- 00 hasta 4 !• Claro está que se tienen los valores límites siguientes: 
th (— 00 ) = — 1 , th 0 = 0, th (-|-oo) = 4 - 1 , 
cot h (— 00 ) = — 1 , cothO = ±co, cot h (4-oo) = 4 ~ l. 
132 
