122 
GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
Restando y sumando ordenadamente estas dos igualdades, partiendo por 2 
las que resultan, y extrayendo en ellas la raíz cuadrada de los dos miembros, se 
hallan las expresiones de sh 4- a y c'nlas cuales, divididas ordenadamente, 
dan la expresión de th- a. Las fórmulas que resultan, son estas: 
,i \ / ch. a — 1 ,i A / ch a 1 
sh T"=y-2- ch T" = V- T~' 
th 
£ 
~2 
ch a — 1 
ch a-\- 1 
Obsérvese que, en cada una, el segundo miembro tiene dos valores iguales y 
opuestos; y así debe ser. Efectivamente, como el arco a está definido por sj co¬ 
seno hiperbólico, es indeterminado. Si designamos por k nn número entero posi¬ 
tivo ó negativo, y por a un arco cuyo coseno hiperbólico sea igual al dado, la 
expresión general del arco a será 2k rcz±a; y la de su mitad será, por consiguien¬ 
te kTZÍ±~ a; pero como los senos hiperbólicos de esta infinidad de arcos son 
iguales ú opuestos, y lo mismo puede afirmarse desús cosenos y tangentes hiper¬ 
bólicos, se infiere que cada una de las expresiones sh-^-rt, ch4-a, th-^-a tendrá 
dos valores iguales y opuestos. 
210.— Para valores cualesquiera de z, reales ó imaginarios, se verifican 
las relaciones 
Sh * = * + 3Í + 5T + TT + 
Ch * = 1 + 2T+4!+^ + - 
Demostración. —Sustituyendo en las expresiones 
sh z = 
2 —2 
e — e 
ch z 
2 , — 2 
e + e 
los desarrollos en serie de e 3 y e 3 , que son 
~ 2 ,3 «4 
3 1i i 3 i Z I * i 
c “‘+*+21 +3T+4T + 
— 2 _ . ~_L_ * 4 _ 
~ ~*“ t “ 27“ 3T -1- 4T~' 
se hallan las fórmulas del enunciado. 
136 
