LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS 
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211 .—Si z tiende hacia cero, las razones 
sh s th 3 th ¡s 
3 ’ sh z ’ 3 
tienden hacia 1 . 
Demostración. —1.° Del desarrollo en serie del seno hiperbólico (210), se 
infiere 
En esta expresión, la serie incluida en el paréntesis es siempre convergente, 
y su suma tiende hacia cero al mismo tiempo que z. Luego, si z se desvanece, 
el segundo miembro, y por consiguiente el primero, tienden hacia 1. 
2.° 
th 3 sh s 
sh ¿ ch 2 
: sh 3 
ch 3 
« 1 
e -j-e 
luego, para lím. 3 = 0, tendremos 
lím. -^L = lím.--- 
sh 3 e , _-e 
e -\-e 
3.° De la identidad 
th 3 th s sh 3 
X 1 
3 sh 3 
y de los límites ya encontrados para th z : sh z y sh z : 2 , se infiere que 
. th 3 th 3 \ /, sh z \ 
lim. —— = lím. —-) (lím. ——) = 1. 
3 \ sh^/X 3 1 
212.—Las funciones hiperbólicas y las circulares de z y zi están relacio¬ 
nadas por las igualdades 
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