DIGNANDO DE UNA DISTANCIA 
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lelos A'C' y B'D', y que, además es AC = A'C'. Demostremos, en primer lugar i 
que, entre los arcos AB, A'B', CD, C'D' se cumple la proporción 
AB: CD — A'B': C'D'. 
Los arcos AB y A'B' ó son comensurables entre sí, ó no lo son. En el pri¬ 
mer caso, serán múltiplos de un cierto arco AE, que estará contenido m veces 
en AB, y n veces en A'B', por cuyo motivo será 
AB: A'B' — m:n. 
Los radios El, FJ,.ET, F'J',.de los horiciclos AB y A'B', que di¬ 
viden respectivamente á los arcos AB y A'B' en m y n partes iguales, dividen 
al arco CD en m arcos CI, IJ,.; y al C'D' en n arcos C'I', I'J',.; y 
todos estos arcos parciales Cl, C'i', iJ, I'J',. son iguales, porque los cuadri¬ 
láteros mixtilíneos AEIC, A'E'I'C',.son superponibles; luego 
CD: C'D' — m\n. 
De las dos igualdades anteriores, se deduce 
AB : A'B' = CD : C'D'. 
Si los dos arcos AB y A'B' son incomensurables, designemos por u la 
n -ava parte del A'B', y por v la w-ava parte del C'D'. El arco AB no 
será múltiplo de u\ pero estará comprendido entre dos múltiplos consecutivos 
um y 1) de u. Tampoco el arco CD será múltiplo de v\ pero estará 
comprendido entre vm y v{m-\- 1). Se verificarán, pues, las limitaciones 
m AB 
~n < A'B'' < 
m -j- 1 
n 
m CD m- 4-1 
— < - < --— 
n C'D' n 
m 
Si n es un número arbitrariamente grande, las razones 
y mJr -- tienden 
n 
hacia un mismo límite, porque su diferencia — tiende hacia cero; luego las razo- 
n 
nes AB: A'B' y CD : C'D', por estar comprendidas entre dos fracciones varia¬ 
bles que tienden hacia un mismo límite, son iguales. 
Tenemos, pues, establecido que, en todos los casos, se cumple la proporción 
AB: A'B' = CD : C'D'; y, permutando en ella los términos medios, resulta- 
AB : CD = A'B': C'D'. 
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