DISTANCIAS Y ANGULOS IMAGINARIOS 
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Observación. -(Fig. 167). Sean MC un arco de horiciclo, MA y CB los dos 
radios que parten de sus extremos, N la proyección 
normal de M sobre CB, y z el ángulo NMA de pa¬ 
ralelismo, correspondiente á la distancia MN. En¬ 
tonces, se verificarán (219 y 221) las relaciones 
1 : sen z = e CN , 1 : sen z = ch MN; luego 
ch MN = c CN . 
NT 
VIH.—Distancias y ángulos imaginarios. 
222.—En la superficie esférica, todo punto de una circunferencia máxima 
dista esféricamente de cualquiera de sus polos un cuadrante, el cual vale tc, si 
el radio de la esfera se toma por unidad, y es verdadera la hipótesis euclídea. 
Análogamente, para el plano de la Geometría hiperbólica, diremos que todos los 
puntos de una recta , situada en él, distan del polo de aquella recta (155-1.) la 
longitud constante igual á ~ ni. De modo que, por definición, la distancia 
entre un punto ideal y su recta polar es ~ni. 
(Fig. 168).—Sean A un punto geométrico situado en el plano de la figura, 
B un punto ideal, cuya polar es la recta b , 
y N la proyección normal de A sobre b. A 
La recta AN pasa por el punto B; de ma¬ 
nera que, si B fuera realmente un punto, 
y además estuviera en la prolongación de___ 
AN, sería AB = AN -|- NB, ó AB = AN -j- N ó 
-—ni (puesto que, por definición, es NB = Fi s- 168 
-^■ni). Por este motivo, diremos que la distancia AB, entre el punto geomé¬ 
trico A y el imaginario B, es AN ~ ni. 
Análogamente (fig. 169), si las rectas b y c, de un mismo plano, están corta¬ 
das normalmente en N y P 
_N_ t por otra recta, y admitimos 
que para los puntos ideales B 
y C, polos de & y c, se cumple 
_ _ la relación AB = AN NP -p 
9 c PB, deduciremos (por ser AN 
Fi &- 169 =4 -t z¿, y PB = ~nl) AB 
= NP-)-Tcf. Convendremos, pues, en que la distancia entre los dos puntos 
ideales Ay B es NP-(- ni. 
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