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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
Consideraciones análogas cabe hacer respecto de los planos y sus polos. Así, 
todos los puntos de un plano geométrico distan de su polo la longitud cons¬ 
tante i. La distancia de un punto geométrico A al punto ideal B es 
a -i- tzí, designando por a la distancia de A al plano polar de B. Si los dos 
planos a y 6 tienen una normal común, y es a su distancia, la de sus polos 
será a -{-ni. 
Sea M un punto geométrico. Los puntos de todo plano a, que pase por M, 
distan de su polo A la longitud 4 -teí ; y como M es uno de dichos puntos, la dis¬ 
tancia MA de M al polo A de a vale - -tzí . Como esta conclusión es aplicable 
á los polos de todos los planos imaginables que pasan por M, y el conjunto de 
estos polos es un plano ideal (155-III), podemos afirmar que un punto geométri¬ 
co M dista de todos los puntos de su plano polar la longitud — tzí . Análoga¬ 
mente, en un plano dado, un punto geométrico M dista de todos los puntos de 
su recta polar la longitud constante zi. 
223. —Se llaman radios de un ciclo ó de una esfera (de centro propio ó im¬ 
propio) á los segmentos de recta que empiezan en el centro y terminan en aquella 
línea ó en la superficie de aquella esfera. Según esto, en el hiperciclo y en la 
hiperesfera, la longitud del radio es igual á la altura, aumentada en \-tzí. Todos 
los radios de un mismo ciclo ó de una misma esfera son iguales. Su longitud es 
real y finita, cuando el centro es geométrico; real é infinita, cuando el centro 
está infinitamente lejano; é imaginaria, pero finita, cuando dicho centro es ideal. 
En el plano (que es una variedad de la esfera) y en la recta (que es una variedad 
de la circunferencia) el radio vale k¿. 
224. -—(Fig. 170).—La porción de plano, comprendida entre dos rectas a y b 
que no se cortan ni son paralelas, se lla¬ 
ma ángulo ideal , y tiene por lados estas 
c rectas, y por vértice el punto ideal en 
______________ que concurren. A estas definiciones, que 
^ ya expusimos en el párrafo 159, añadiré¬ 
is- 170 mos ahora, que á dicho ángulo se le atri¬ 
buye el valor imaginario —ci, siendo c la distancia entre las dos rectas a y b. 
Si las tres rectas a, m y b, si¬ 
tuadas en un mismo plano (fig. 171) 
están cortadas normalmente por 
otra recta, en los puntos A, M y B, 
y m es interior á la faja ab , se 
verificará la relación ab — am -j- 
mb entre ángulos ideales, puesto 
que entre sus valores se cumple 
la relación 
— AB i — — AM ¿-H-MB) i. 
