RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTILÍNEO CUALQUIERA 
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cot h c sh a = ch a eos B -\- sen B cot C, 
cot h a sh c = ch c eos B -\- sen B cot A, 
cot h b sh a — ch a eos C sen C cot B, 
cot h c sh b — ch b eos A -\- sen A cot C. 
III. Relaciones entre un ángulo y lós tres lados: 
ch a = ch b ch c — sh b sh c eos A, 
ch 6 = cha ch c — sh a sh c eos B, 
ch c — ch a ch b — sh a sh & eos C. 
IV. Relaciones entre un lado y los tres ángulos: 
eos A — — eos B eos C -j- sen B sen C ch a, 
eos B = — eos A eos C -+- sen A sen C ch b , 
eos C = — eos A eos B sen A sen B ch c. 
Demostración.— Vamos á ver que estas fórmulas son verdaderas, no sólo 
para los triángulos propiamente dichos, sino también para los que tienen 1, 2 ó 
los 3 vértices ideales. 
Claro está que, instituyendo la primera fórmula de cada grupo, quedarán 
instituidas todas las otras, puesto que éstas se deducirán de aquellas por la sim¬ 
ple permutación de letras. Además, podemos suponer que el ángulo A es oblicuo 
ó imaginario; porque, si fuera recto, dichas primeras fórmulas se reducirían á las 
II.-1. a , III.-2. a , I. y V. del párrafo 227, que ya se establecieron para los trián¬ 
gulos rectángulos. En suma, sólo tendremos que demostrar las relaciones 
sh a sh b 
sen A sen B 
cot h a sh b = ch b eos C -+- sen C cot A, 
ch a = ch b ch c — sh b sh c eos A, 
eos A =s — cós B eos C -1- sen B sen C ch 
y esto en la hipótesis de que el ángulo A no es recto. 
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