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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
Puede suceder que el vértice C sea un punto geométrico, (figs. 187, 188, 
189 y 190) ó que sea un punto ideal; y en este último caso, la intersección de la 
recta c con la normal común Y á los lados a y í>, puede ser ideal, geométrica ó 
límite: en otros términos, las rectas c y y pueden tener una normal común d A 
(figs. 191, 192, 193 y 194), cortarse en un punto propio D (figs. 203, 204, 205 y 
206) ó ser paralelas. Se originan pues cuatro casos. 
Primero y segundo casos. — (Figs. desde la 183 hasta la 202). Si el vér¬ 
tice C es un punto geométrico, ó, si siendo ideal, la recta c y la normal común 
Y á los lados a y b tienen una normal común d i , considérese la altura CH del 
triángulo ABC, correspondiente al lado c. Esta altura es real en el primer 
caso; y en el segundo tiene el valor imaginario d i -\--^-izi, si d t es la distancia 
entre las rectas c y Y; pero, en ambos casos, la recta ilimitada CH es geométrica. 
(C) 
ÍC) 
Fig. 183 
Fig. 184 
Fig. 186 
La consideración de la áltura CH origina dos triángulos rectángulos HCA, HCB 
(geométricos ó ideales) pues aunque el ángulo B sea recto (figs. 195, 196, 197 y 
198) puede considerarse HCB como un triángulo rectángulo, en el cual son nulos 
el cateto HB y su ángulo opuesto. Con esta construcción, he aquí como se de¬ 
muestran (para el l.° y 2.° casos) las cuatro fórmulas últimamente enunciadas. 
l.° Los triángulos rectángulos HCB, HCA proporcionan las relaciones 
sh CH = sh a sen B, 
de las cuales se deduce sucesivamente 
sh CH = sh b sen A, 
sh a sen B = sh b sen A, 
sh a : sen A = sh b : sen B. 
2.° De los mismos triángulos rectángulos HCB, HCA, se saca 
eot h a = cot h CH eos HCB, 
luego 
cot ha — cot h b 
eos HCB 
cot h CH 
cot h b 
eos ACH 
1 
cot h a sh b = ch 
b 
eos HCB 
eos ACH ’ 
156 
eos ACH 
