GEOMETRÍA. HIPERBÓLICA 
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Sustituyendo estos valores de ch BE y oh AF, se halla sil a : sen A = sh b : 
sen B, que es la primera de las fórmulas que deseábamos demostrar. 
2.° Los mismos triángulos rectángulos DBE, DAF ofrecen las relaciones 
th BE = tang D sh DE , 
tang D = 
th AF 
sh DF 
que conducen á esta otra: 
th BE = th AF 
sh DE 
sh DF ' 
la cual se transforma sucesivamente (por ser BE — a -—^ ni, AF = b -i- ni y 
cot h b =z ch b : sh b') en las ecuaciones 
cot h a — cot h b 
sh DE 
sh DF ’ 
cot h a sh b = ch b 
sh DE 
sh DF ' 
Por otra parte, tenemos DE = DF -p y (figs. 205 y 206) ó DE = DF — y 
(figs. 203 y 204); luego 
sh DE = sh DF ch y + ch DF sh y. 
Sustituyendo este desarrollo de sh DE en la última expresión encontrada para 
cot h a sh b, y teniendo presente que (por ser y=Cz) chy = cosC y 
sh y — i sen C, se obtiene 
cot h a sh b — ch b eos C ± i ch b sen C cot h DF . 
En esta fórmula se debe tomar el signo más , si DE = DF -)- y y el signo 
menos, siDE = DF — y. En el primer caso, (figs. 205 3 * 206) el triángulo rec¬ 
tángulo DAF, cuyo ángulo en A vale 180° — A, y cu\ T o cateto AF es igual á 
b - - ni, da 
cot h DF = 
— cot A 
sh AF ’ 
ó 
cot h DF = 
cot A 
i ch b 
En el segundo caso, es decir, cuando DE = DF — y (figs. 203 y 204) del 
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