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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
se cumplen constantemente las cuatro fórmulas que estamos instituyendo, también 
se cumplirán en el límite, ó sea cuando dichos triángulos variables se reemplacen 
por el triángulo fijo ABC. 
229. I. En el triángulo, cada ángulo puede expresarse mediante los tres 
ángulos. Por ejemplo, para A y a, se obtienen las fórmulas 
eos A: 
ch b ch c — ch a 
sh b sh c 
ch a ■■ 
eos B eos C-pcos A 
sen B sen C 
que resultan de despejar respectivamente eos A y ch a en las ecuaciones 
ch a — ch b ch c — sh b sh a eos A, 
eos A = — eos B eos C -p sen B sen C ch a . 
II. También existen las notables relaciones 
2 i , _ sh (p — b ) sh (p — c) 
sh b sh c 
eos 2 ± A = sb ¿ sh (P — “) 
2 sh b sh c 
tasg^A = Sh( t~^ S , h( ^~ C) 
2 sh p sh (p — a) 
. 2 i sen (D-(-B) sen (D + C) 
ch' — a = —-=-^- 
2 sen B sen C 
, 2 i sen D sen (D -(- A) 
sh ~^a^= 
sen B sen C 
2 i sen (D +• B) sen (D-pC) 
coth -rra — 
sen D sen (D -p A) 
en las cuales representa p el semiperimetro. y D el semi-defecto angular; es de¬ 
cir que 
¿ = -f(a + & + c), D = -i- [l 80 ° — (A-pB-pC)] . 
Demostración. — Sustituyendo los valores hallados últimamente para eos A 
y cha en las fórmulas 
sen — A =±-(l- eos A) , ch 2 -Ln: = 4-(ch a-pl) , 
eos " -|-A = ^-(1 -Pcos A) , sh ' ^-d = -i-(ch a — 1) , 
resultan, por transformaciones trigonométricas, las 4 primeras ecuaciones del 
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