GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
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ángulo céntrico de un arco que, en la hipótesis enclideana, sea equivalente á su 
radio. Téngase, pues, en cuenta que á este sistema de unidades se refieren, no 
sólo las fórmulas que llevamos expuestas, relativas á los triángulos rectilíneos, 
sino también las que vamos á exponer, referentes á longitudes, áreas y volú¬ 
menes. 
232. La longitud 1 de un arco de círculo ó de hiperciclo, es igual al pro¬ 
ducto de su ángulo céntrico a por el seno hiperbólico de su radio r. Es lo 
que expresa la fórmula 
l = a sh r . 
Demostración. —Para el arco AB del círculo, cuyo centro es O (fig. 211) 
son reales el ángulo céntrico a = AOB y el radio r— OB. Para el arco hiperci 
ciar AB (fig. 212), cuyas alturas correspondientes á A y B son AE y BP', el 
centro O es ideal, el ángulo céntrico a = AOB tiene el valor imaginario —FE¿, 
y el radio r = OB, imaginario también, vale BF -)- ni (223). Se trata de pro¬ 
bar que para ambos ciclos, se. cumple la fórmula del enunciado. 
Márquese en el arco AB un punto C, y trácese BD normal á OC. Como 
Fig. 211 Fig. 212 
los arcos de un mismo círculo, ó de un mismo hipercido, son proporcionales á sus 
ángulos céntricos, tendremos: 
/: a = are. CB : COB, 
l = o/. 
are. CB 
COB 
Además, como del triángulo (real ó ideal) DOB, rectángulo en D, se saca 
sh BD 
sen CÓB 
= sh OB = sh r, 
la identidad 
are. CB _ 2 are. CB v/ BD w sh BD sen COB 
COB “ 2 BD X sh BD X sen COB X “COB ~ 
se convierte en 
are. CB 2 are. CB BD sen COB 
COB ' 2 BD X sh BD X s 1 r X COB 
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