LONGITUD DE UN ARCO DE CICLO 
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Si el arco CB tiende hacia cero, las tres últimas razones tienden hacia la 
unidad (pues, en la primera de estas tres, el antecedente es un arco, y el conse¬ 
cuente su cuerda; y las dos últimas razones son las que existen entre un arco y 
su seno hiperbólico, 3 entre un seno circular y su ángulo); luego, en el límite, el 
valor del segundo miembro es sh r, y como el primer miembro es constante, será 
are. CB 
COB 
- sh 
r. 
Sustituyendo el valor de esta razón en la igualdad l — « > encontra¬ 
da antes, resulta / = a sh r. 
Corolarios. l.° La longitud c de la circunferencia , cuyo radio es r, 
tiene por expresión c = 2 tc shr. 
Porque la circunferencia es un arco que tiene 2tz por ángulo céntrico. 
2.° La longitud de un arco de hiperciclo vale el producto de su proyec¬ 
ción normal sobre la base por el coseno hiperbólico de su altura. 
Designando, pues, (fig. 212) por b la distancia EF entre las dos alturas ex¬ 
tremas del arco hiperciclar AB, por / la longitud de este arco, } T por a su altura, 
tendremos 
l = b ch a. 
Efectivamente, resulta esta fórmula de hacer en la igualdad l = a sh r, de¬ 
mostrada para el hiperciclo, las sustituciones a = — b i y r — a-\-~Tzi. 
233. Conservando las notaciones precedentes, y designando además (figu¬ 
ras 213, 214 y 215) por d la distancia BD entre un extremo del arco AB y el 
radio que pasa por el otro extremo, se cumplirán las fórmulas siguientes: 
Para el circulo ó hiperciclo, 
a 
l = -sh d; 
sen a 
Para el hóriciclo, 
l --- sh d; 
Y para el hiperciclo, 
l = —~— sh d. 
sh b 
Demostración. — 1 .° Si se trata de un arco circular (fig. 213) ó de un 
arco hiperciclar (fig. 215), del triángulo DBO (real ó ideal) rectángulo en D, se 
saca sh r = .; y sustituyendo este valor de sh r en la ecuación l = a sh r 
sen a 
(232), obtendremos la primera fórmula del enunciado. 
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