GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
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2.° (Fig. 214). El arco de horiciclo AB es, en posición y longitud, el límite 
de cierto arco circular BX, que pasa constantemente por B, y cuyo centro O se 
Fig. 213 Fig. 214 Flg. 215 
aleja indefinidamente sobre AD, en la dirección AD. Mas, para este arco circu¬ 
lar variable, el ángulo céntrico a es infinitamente pequeño; y, por lo tanto, la 
razón a : sena tiende hacia 1; luego, en el límite, ó sea para el horiciclo, la lon¬ 
gitud (a : sen a) shrf del arco circular se convierte en shrf. 
3.° (Fig. 215). En el hiperciclo, es — — bi, sena = — /sh&; y sustituyendo 
estos valores de a y sen a en la primera fórmula del enunciado (que ya está de¬ 
mostrada) resulta la tercera. 
XIII.—Áreas. 
234. Sabemos (137-III.) que todos los triángulos de igual defecto angular 
son equivalentes. Por tanto, para medir las superficies, puede tomarse por unidad 
la superficie de un triángulo cuyo defecto sea igual á un ángulo determinado. 
Este ángulo no debe satisfacer á otra condición que la de no exceder á 180°, 
porque (138-Oós. 5. a ) el defecto de un triángulo puede variar desde 0 hasta 180°. 
El área de una superficie, ó sea su tamaño, se determina mediante un 
número concreto, expresado en unidades superficiales. En este tratado de Geo¬ 
metría hiperbólica, siempre que se habla de áreas, debe sobreentenderse que se 
toma por unidad de longitud el metro natural; por unidad angular el ángulo 
céntrico del arco circular que, en la Hipótesis euclideana, sería equivalente á 
su radio; y por unidad de superficie la de un triángulo, cuyo defecto sea la 
unidad angular. Además, por brevedad, suele decirse «área de una superficie ,», 
« línea » ó 'ilongitud de una línea » y « ángulo » á las respectivas razones de estas 
cantidades con su unidad. 
235. El área de un polígono es igual á su defecto. 
Observemos, en primer lugar, que la traducción de este enunciado, incorrec¬ 
to por brevedad, es la siguiente: si se toma por unidad superficial el triángulo 
cuyo defecto es la unidad angular, el área de un polígono tiene por medida el 
valor numérico de su defecto. 
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