AREAS 
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Demostración. —Entre la superficie del polígono P, la del triángulo unidad 
U y sus respectivos defectos p y u , se verifica (138) la proporción P : U = p : u; y 
como, según lo convenido, u es la unidad angular, las razones P: U y p ’.u son los 
respectivos valores numéricos del área del polígono y de su defecto angular. 
Luego estas dos razones son iguales. 
236. I. El área s de un sector circular, que tenga r por radio, a por 
ángulo céntrico , y 1 por longitud de su arco, se expresa por cualquiera de las 
dos fórmulas 
s — 2 a. slT \r , s .= l th ~ r . 
Demostración. — (Fig. 216). Dividiendo el arco ADB del sector circular 
OADB en n partes iguales, y trazando las cuerdas correspondientes, se forma la 
línea quebrada regular ACDEB, en la cual se podrá inscribir una circunferencia 
HFG concéntrica con la ADB. 
El sector circular dado OADB 
es mayor que el polígono ins¬ 
crito OACDEB; y la diferen¬ 
cia entre ambas superficies es 
menor que la porción del plano 
comprendida entre los radios 
OA, OB, el arco ADB y la 
circunferencia HFG, inscrita 
en aquella línea quebrada. Si 
el número n es variable y ar¬ 
bitrariamente grande, la dife¬ 
rencia FI entre el radio OI y 
la apotema OP", y por consi- 
D 
guiente la referida porción, se- Fig -. 2 ió 
rán arbitrariamente pequeñas; 
y lo mismo acontecerá, á forciori, á la diferencia entre el sector circular y el 
polígono inscrito OACDEB; luego, en el límite, estas dos figuras tienen igual 
área. Calculemos, pues, el área de dicho polígono, y el límite que adquiera, 
cuando el número variable n sea arbitrariamente grande, será el área del sector 
circular. 
Trazando los radios y las apotemas de la línea quebrada ACDEB, el polí¬ 
gono OACDEB queda descompuesto en 2 n triángulos rectángulos iguales. Si 
OAF es uno de ellos, y designamos recpectivamente por s y A las medidas de 
sus dos ángulos agudos AOF y FAO, el área del triángulo OAF será 
” Tí — A — s; luego el área de todo el polígono OACDEB tendrá por expresión 
como 2 n e equivale á la 
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