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GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
medida a del ángulo AOB, tendremos que el área x del referido polígono es 
x = a 
~TZ — A 
expresión idéntica á esta otra: 
x — a. 
2 71 A sen ( 0 ~ A j sen £ 
x ——-- X 
sen ( T 71 A) 
sen £ 
Además, la penúltima de estas razones vale ch OF, puesto que del triángulo 
rectángulo OAF se saca 
eos A sen (—tí — A) 
ch OF, ó sea---= ch OF 
sen £ 
sen £ 
Por lo tanto, 
x = a. 
( 
T 7I-A 
S e n (4 -tí-A) 
X ch OF X 
sen £ 
— 1 
) 
Si n es arbitrariamente grande, 4 ~tí — A y £ serán arbitrariamente peque¬ 
ños; luego las dos razones de la última igualdad tendrán l por límite. En cuanto 
á OF tenderá hacia r. Tenemos, pues, 
lím. x = a (ch r — 1); 
y como lím. as es igual al área s del sector circular, y además es ch r—1 = 
2 sh' ~ r , resulta s = 2 a sh” r > q ue e s la primera de las dos fórmulas que nos 
proponíamos demostrar. 
La segunda se deduce de la primera, mediante las siguientes transformacio¬ 
nes, que se fundan (232 y 208-1) en las relaciones a — ——, sh r — 2 sh A- r ch — r: 
sh r 22 
o ,21 
s = 2 a sh -rV — 
21 sh'4-r 
21 sh 2 4-^ 
sh r 
2 shA-T- ch A- r 
sh T r 
ch 4 ~r 
= lth~r, 
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