AREAS 
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II. El área del circulo se calcula por cualquiera de estas dos expresiones: 
s — 4 re sh 2 r, s = c th — r , 
en las cuales es r el radio , y c la longitud de la circunferencia. 
Porque las fórmulas I son aplicables al círculo, pues este se convierte, cuando 
se traza uno de sus radios, en un sector circular, cuyo ángulo céntrico es 2 u, y 
cuyo arco vale toda la circunferencia. 
237. El área de un sector de círculo limite es una cantidad finita, que 
tiene por medida la longitud del arco. 
Porque este sector es el límite de un sector circular, cuyo radio r crece ar¬ 
bitrariamente, tendiendo hacia co . Pero, en tal caso, es lím. th — r — 1; y en el 
límite, lia fórmula s = Z th r, se convierte ens = /. 
238. (Fíg. 217). El área de un sector hiperciclar , es decir, de la superficie 
plana ABQP, limitada por 
un arco AB de hiperciclo, su 
base PQ y sus alturas extre¬ 
mas AP y BQ, está dada 
por las expresiones 
s = & sh a , s = / th a , 
en las que s es el área, 1 la 
longitud del arco AB, b la 
de su proyección PQ sobre la base, y a la altura. 
Demostración. —Dividiendo el arco AB en partes iguales, y trazando las 
cuerdas correspondientes, se forma la línea quebrada regular ACGB, en la cual 
se podrá inscribir un hiperciclo HFD con la misma base PQ. y con su altura FR 
igual á la distancia FR entre esta base y el punto medio F de la cuerda AC. 
La superficie cuya área hemos designado por s, es mayor que el polígono inscrito 
PACGBQ; y la diferencia entre ambas superficies es menor que la porción del 
plano limitada por las dos alturas extremas AP y BQ, y los dos hiperciclos ACB 
y HFG. Si el número n es variable y arbitrariamente grande, la diferencia FI 
entre las alturas RI, RF, de estos dos hiperciclos, y por consiguiente la referida 
porción de plano, serán arbitrariamente pequeñas; y lo mismo acontecerá, á for- 
ciori, á la diferencia entre la superfiicie del enunciado y la del polígono inscrito 
PACGBQ; luego el área de la primera es el límite que adquiere el área de la se¬ 
gunda. Calculemos, pues, este límite. 
Si por los vértices de la línea quebrada ACGB y por los puntos medios de 
sus lados se trazan normales á la base PQ del hiperciclo AB, el polígono 
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