ÁREAS 
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te por (A3CDE), (AB), (BC), .; y con estas notaciones podremos escribir 
(243) las siguientes igualdades: 
(AB) = 4 ix sh* 4- PA - 4 tu sh 5 4- PB, 
(BC) = 4 7x sh A- PB — 4 7t sh 2 A pe, 
(CD) = 4 ti sh A- PC — 4 te sh 2 4- PD, 
(DE) = 4 tx sh 4-PD — 4 7x sh 2 A. PE. 
Sumándolas ordenadamente, se obtiene 
(ABCDE) = 4 ti sh 2 A pa — 4 tx sh 2 4- PE. 
Esta fórmula subsiste, por grande que sea el número de partes iguales en que 
se haya dividido el arco PM; luego también subsistirá en el límite, es decir, cuan¬ 
do ese número sea arbitrariamente grande; pero, en tal caso, para los elementos 
variables de la figura, se tienen los límites siguientes: para la línea quebrada 
ABCDE, el arco PM; para PA, la distancia PM; para PE, cero; y para la zona 
que describe la línea quebrada, el casquete que describe el arco PM. Tomando, 
pues, los límites de ambos miembros en la última igualdad, y designando por s el 
área de dicho casquete, tendremos: 
s — 4 7X sh 1 — PM, 
igualdad cuyo segundo miembro es (236 II.) el área de un círculo, que tenga 
por radio PM, ó sea la cuerda que, en el casquete, tiene el arco meridiano. 
III. La superficie esférica , de radio r, tiene por área 4 tc sh 2 r; y equivale A 
un circulo que tenga por radio el diámetro de la esfera. 
Porque la superficie esférica total puede considerarse como un casquete cuyo 
arco meridiano es media circunferencia. 
IV. Dos superficies esféricas son entre si como los cuadrados de sus cir¬ 
cunferencias máximas. 
Efectivamente, entre las áreas s y s, de dos superficies esféricas, sus radios 
r y r { y sus circunferencias máximas c y c i existen (244—III. y 232— Cor. l.°) las 
relaciones 
s = 4 tc sh 2 r 
c —2 7C sh r, 
s¡ — 4 7X sh 4 r i , 
cq = 2 tc sh r,, 
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