I 70 GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
III. (Fig. 228). El área s de, la zona esférica ó hiperesférica de revolución 
(AA,) se expresa también por la fórmula 
s — 4 tí sh MN sh AA, 
en la cual AA, es la cuerda del arco meridiano, y MN la distancia del punto 
medio de este arco al eje. 
Demostración. — Sean C y Ci los respectivos puntos medios de las cuerdas 
BA y BA,. Expresando que el área s 
tre las áreas de los casquetes (AB) y 
(A,B), tenemos 
s = 4 7t sh 2 BC — 4 ti sh 2 BC 1 , 
s = 4 tc (sh 2 BC —sh 2 BC,); 
y haciendo en esta última igualdad 
las sustituciones 
sh BC = sh r sen BOC, 
sh BC, = sh r sen BOC,, 
que proporcionan los triángulos rec¬ 
tángulos BOC, BOCi (cuya hipotenusa OB, real ó imaginaria, es el radio r de 
la esfera ó hiperesfera), se obtiene 
s = 4 7t sh 2 r (sen 2 BOC — sen 2 BOC,), 
igualdad que, por ser 
sen 2 BOC = 4" (1 — eos BOA), sen 2 BOC, = -4 (1 — eos BOA,), 
se convierte en 
s = 2 7t sh 2 r (eos BOA, — eos BOA); 
pero 
cós BOA, — eos BOA == 2 sen ~ (BOA -f- BOA,) sen — (BOA — BOA,) 
= 2 sen BOM sen MOA; 
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