luego 
AREAS 
s = 4 tz (sh r sen BOM) (sh r sen MOA). 
En fin, sustituyendo en esta ecuación los productos incluidos en los parénte¬ 
sis por los valores que expresan las igualdades 
sh r sen BOM = sh MN, sh r sen MOA = sh ~ AA,, 
que se sacan de los triángulos rectángulos (geométricos ó ideales) OMN y OAD 
( D es el medio de la cuerda AAi ), resulta la fórmula que nos proponíamos de¬ 
mostrar. 
247. El cuadrado horisférico, cuyo lado tenga la longitud del metro na¬ 
tural, tiene su superficie equivalente á la del triángulo cuyo defecto es la 
unidad angular (234). 
Demostración —Sabemos (194-II) que las leyes de la Geometría euclídea, 
relativas á las figuras planas, se cumplen para las correspondientes figuras tra¬ 
zadas sobre la horisfera. Por consiguiente, si tomamos por unidad de superficies 
el cuadrado horisférico que tenga su lado equivalente al metro natural, el cas¬ 
quete horiférico, cuyo arco meridiano valga l unidades de longitud, tendrá por 
área re l 2 . Pero (245) este mismo valor tiene dicha área, cuando la unidad de su¬ 
perficie es el triángulo plano, cuyo defecto es la unidad angular (234); luego este 
triángulo y aquel cuadrado horisférico tienen igual extensión superficial. 
248. (Fig. 229). Sean AB un arco de hiperciclo, CD su base, y AD y 
BC sus alturas extremas. Si el cuadrilátero mixtilíneo ABCD da una vuelta 
completa alrededor de CD, describe un cuerpo de revolución, al cual daremos 
el nombre de pseudo-cilindro. Su radio será la altura AD del hiperciclo; sus ba¬ 
ses los círculos descritos por AD y BC; su altura la distancia CD; su superficie 
lateral la descrita por el arco AB; y sus lados las diversas posiciones que adquie¬ 
re aste arco, en su revolución alrededor del eje CD. 
La superficie lateral de un psendo-cilindro tiene por medida el producto 
de multiplicar por su lado 1 la circunferencia de la base, ó por su altura a la 
semicircunferencia cuyo radio es el diámetro 2r de dicha base. Es decir , que, 
designando por s el área de aquella superficie , será 
s = 2 TcshrX^ s = r: sh 2 X d. 
Demostración. — Dividiendo el arco de hiperciclo AB en n partes iguales, 
y trazando las cuerdas correspondientes, se forma una línea quebrada regular (*) 
(*) Este principio da un medio facilísimo para expresar las áreas délas figuras horisféricas. 
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