VOLUMENES 
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párrafo precedente, con lo cual [ABC] designará el volumen del segmento 
horisférico descrito por ABC, y [AB] el área del casquete que describe el ar¬ 
co AB. Se trata de probar que [ABC] = [AB] — 2n BC. 
Los planos que dividen normalmente á la altura BC en n partes iguales (en 
los puntos D, E, F) dividen al segmento horisférico [ABC] en n rebanadas 
[ACDG], [GDEH], [HEFI], [ IFB] cuya suma es, evidentemente, menor que 
la suma de lospseudocilindros externos [ACDM], [GDEL], [HEFK], [ IFBJ]; 
y mayor que la suma de los pseudo-cilindros internos [GDCP], [HEDO], 
[IFEN]. Mas, por ser [GDEL] = [GDCP], [HEFK] = [HEDO], [IFBJ] = 
[IFEN ], la diferencia entre las dos últimassumas es el pseudo-cilindro [ACDM], 
cuyo volumen se desvanece al mismo tiempo que su altura CD, ó sea cuando el 
número n sea arbitrariamente grande. Infiérese de esto, que la suma délos pseu¬ 
do-cilindros internos y la suma de los externos tienden hacia un mismo limite, que 
es el volumen del segmento horisférico [ABC]; y que, por lo tanto, para calcular 
este volumen, basta hallar el valor de aquel límite. 
Designemos por a la «-ava parte de la altura BC, ó sea la longitud de los 
segmentos iguales CD, DE, EF, FB; y hallemos la suma de los n pseudo-cilin¬ 
dros externos [IFBJ ], [HEFK], [GDEL], [ACDM]. El [GDEL] que en esta 
serie ocupa el lugar é-ésimo, tiene por altura a, y por radio DG; luego (256) 
su volumen es 2 ti a sh 2 DG; y como (221-0&S.) sh 2 DG = e" BD — 1 = e '* a — 1, 
el referido volumen es, en definitiva, 2 ir a (e 2 ka — l). Dando á k, sucesivamente 
en esta expresión, los valores 1, 2, 3,.... «, se hallan los volúmenes de los n pseu¬ 
do-cilindros externos que estábamos considerando; y resulta que la suma de todos 
ellos es 
1 1 6a , 1 2 na. \ 
¿Tza\e e -j-e ,-\-e —ny 
los sumandos interiores al paréntesis son los n primeros términos de una progre¬ 
sión geométrica, cuya razón es <?“ a ; y por esto, y por ser n a = BC, la expresa¬ 
da suma adquiere sucesivamente las formas siguientes: 
2n a . 
2 tc oc| e“ a - - n 
éC a -l 
2 tc a e 2a —~ - (e' 2n0c — \) —2 tc na, 
2 a , 
e — 1 
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