VOLUMENES 
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dividiendo la suma de sus antecedentes por la suma de sus consecuentes, también 
tiene por límite cot h r. Por lo tanto, 
[MDIS] 4- [DEHR] 4 [EFGQ] 4 [FNBP] 42tu (MD4DE4EF4FN) 
hm.--- ■ - ' —■-— -i-— ---—- - = cot h r. 
[ AI ] 4 [ IH ] 4 [ HG ] 4 [ GB ] 
Ahora bien, en esta igualdad, la suma de los pseudo-cilindros que figuran en el 
dividendo, tiene por límite el volumen del segmento [ ABNM]; el divisor es la 
zona curva [ AB ]; y, además, es MD 4 DE -j- EF FN = MN. Por lo tanto, 
[ABNM ] 42 rc MN 
—W]— = coth 
r, 
[ABNM ] =• [AB ] cot h r — 2 tu MN, 
de acuerdo con el enunciado. 
Observación. —Aplicando esta fórmula al caso de ser r = 00 , ó sea al seg¬ 
mento horisférico, se halla nuevamente, para el volumen de este cuerpo, la ex¬ 
presión encontrada en el párrafo 257. 
III. El volumen de una esfera , de radio r, es 2 tu (sh 2 r — 2r). 
Efectivamente, considerando la esfera como un segmento cuya altura es el 
diámetro, y cuyas dos bases se reducen á puntos, la ley anterior enseña que 
Esfera — (superficie esférica) cot h r — 2 tu X 2 r; 
y sustituyendo, en esta igualdad, en vez de la superficie esférica su valor 
4Tush' 2 r, se halla, tras fáciles transformaciones, que el segundo miembro es 
2 tu (sh 2 r — 2 r). 
IV. Para calcular el volumen de un segmento hiperesférico (que sea de 
revolución) multipliqúese la zona curva, que lo limita , por la tangente hiper¬ 
bólica de su altura; y réstese el duplo producto de tu por la altura. 
Efectivamente (fig. 242), hemos visto (I) que, designando por r el radio del 
'niperciclo AB, se cumple la ley 
[ ABNM ] = [ AB ] cot h r - 2 tu MN; 
pero entre la altura a de dicho hiperciclo y su radio r existe la relación r = a 4 
4- tu i; y por lo tanto, cot fi r — th a; luego 
[ABNM ] = [AB ] th a — 2 tu MN. 
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